数学2 円と直線 問題 19 解説

方針・初手

接点の座標を文字でおき、接線の方程式に点 $(4, 2)$ を代入して得られる関係式から、2つの接点を通る直線の方程式を導き出すのが最も簡潔である。 別解として、実際に接線の方程式を立式し、接点の座標を具体的に求めてから2点を通る直線を求める方法も示す。

解法1

円 $x^2 + y^2 = 4$ 上の接点 $\text{P}$ の座標を $(x_1, y_1)$ とおく。

点 $\text{P}$ における接線の方程式は

$$x_1 x + y_1 y = 4$$

と表される。

この接線が点 $(4, 2)$ を通るので、

$$4 x_1 + 2 y_1 = 4$$

すなわち

$$2 x_1 + y_1 = 2$$

が成り立つ。

同様に、接点 $\text{Q}$ の座標を $(x_2, y_2)$ とおくと、点 $\text{Q}$ における接線も点 $(4, 2)$ を通ることから、

$$2 x_2 + y_2 = 2$$

が成り立つ。

これら2つの式は、2点 $\text{P}(x_1, y_1)$，$\text{Q}(x_2, y_2)$ がともに直線 $2x + y = 2$ 上にあることを示している。

異なる2点を通る直線はただ1つに定まるため、直線 $\text{PQ}$ の方程式は

$$2x + y = 2$$

である。

解法2

点 $(4, 2)$ を通る接線が $y$ 軸と平行であると仮定すると、その方程式は $x = 4$ となる。

円の中心 $(0, 0)$ からこの直線までの距離は $4$ であり、円の半径 $2$ より大きいため、接線にはならない。

したがって、求める接線は $y$ 軸と平行ではないため、傾きを $m$ として次のように表せる。

$$y - 2 = m(x - 4)$$

すなわち

$$mx - y - 4m + 2 = 0$$

この直線が円 $x^2 + y^2 = 4$ に接するための条件は、円の中心 $(0, 0)$ と直線の距離が半径 $2$ に等しいことである。点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|-4m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$$

両辺を $2$ で割り、分母を払うと、

$$|-2m + 1| = \sqrt{m^2 + 1}$$

両辺を2乗して整理する。

$$\begin{aligned} (-2m + 1)^2 &= m^2 + 1 \\ 4m^2 - 4m + 1 &= m^2 + 1 \\ 3m^2 - 4m &= 0 \\ m(3m - 4) &= 0 \end{aligned}$$

よって、$m = 0, \frac{4}{3}$ である。

(i) $m=0$ のとき

接線の方程式は $y = 2$ である。

これを $x^2 + y^2 = 4$ に代入すると $x^2 = 0$ より $x = 0$ となり、接点の一つは $(0, 2)$ である。

(ii) $m=\frac{4}{3}$ のとき

接線の方程式は $\frac{4}{3}x - y - \frac{16}{3} + 2 = 0$ すなわち $4x - 3y - 10 = 0$ である。

接点は、円の中心 $(0, 0)$ からこの接線に下ろした垂線との交点である。垂線の方程式は $3x + 4y = 0$ であるから、連立して解く。

$y = -\frac{3}{4}x$ を接線の方程式に代入して、

$$\begin{aligned} 4x - 3\left(-\frac{3}{4}x\right) - 10 &= 0 \\ 4x + \frac{9}{4}x &= 10 \\ \frac{25}{4}x &= 10 \\ x &= \frac{8}{5} \end{aligned}$$

このとき、$y = -\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{6}{5}$ となり、もう一つの接点は $\left(\frac{8}{5}, -\frac{6}{5}\right)$ である。

したがって、2つの接点 $\text{P}, \text{Q}$ の座標は $(0, 2)$ と $\left(\frac{8}{5}, -\frac{6}{5}\right)$ である。

求める直線 $\text{PQ}$ はこの2点を通るので、その方程式は

$$\begin{aligned} y - 2 &= \frac{-\frac{6}{5} - 2}{\frac{8}{5} - 0} (x - 0) \\ y - 2 &= \frac{-\frac{16}{5}}{\frac{8}{5}} x \\ y - 2 &= -2x \end{aligned}$$

すなわち

$$2x + y = 2$$

となる。

解説

円外の点 $(x_0, y_0)$ から円 $x^2 + y^2 = r^2$ に引いた2本の接線の接点を通る直線（極線と呼ばれる）の方程式が、$x_0 x + y_0 y = r^2$ となることを利用する有名問題である。

解法1のように、接点を文字で置いて「接線が定点を通る」という条件を立式すると、それがそのまま「接点が満たすべき直線の方程式」になるという論理のすり替えが非常に強力である。

解法2のように力技で計算することも可能であるが、計算量が多くミスを誘発しやすいため、解法1の極線の性質の導出方法を定石として押さえておくことが望ましい。

答え

$2x + y = 2$