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数学2 距離問題 5 解説

方針・初手

(1) 二項定理を用いて展開式の一般項を書き下し、$x^r$ の係数 $a_r$ を求める。

(2) (1)で求めた $a_r$ を用いて $\frac{a_r}{a_{r+1}}$ を計算する。階乗の記号 $!$ を用いて組合せ記号 ${}_n\mathrm{C}_r$ を展開して約分する。

(3) 二項係数に関する最大値を求める典型問題である。隣り合う項の大小関係を調べるため、(2)で求めた比 $\frac{a_r}{a_{r+1}}$ と $1$ の大小を比較する。

解法1

(1)

二項定理により、$(x+3)^n$ の展開式の一般項は

$${}_n\mathrm{C}_r x^r 3^{n-r}$$

である。したがって、$x^r$ の係数 $a_r$ は

$$a_r = {}_n\mathrm{C}_r 3^{n-r}$$

となる。

(2)

(1)より、$a_{r+1} = {}_n\mathrm{C}_{r+1} 3^{n-(r+1)} = {}_n\mathrm{C}_{r+1} 3^{n-r-1}$ である。これと ${}_n\mathrm{C}_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いると、

$$\begin{aligned} \frac{a_r}{a_{r+1}} &= \frac{{}_n\mathrm{C}_r 3^{n-r}}{{}_n\mathrm{C}_{r+1} 3^{n-r-1}} \\ &= \frac{\frac{n!}{r!(n-r)!} 3^{n-r}}{\frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!} 3^{n-r-1}} \\ &= \frac{n!}{r!(n-r)!} 3^{n-r} \cdot \frac{(r+1)!(n-r-1)!}{n! 3^{n-r-1}} \\ &= \frac{(r+1)!}{r!} \cdot \frac{(n-r-1)!}{(n-r)!} \cdot \frac{3^{n-r}}{3^{n-r-1}} \\ &= (r+1) \cdot \frac{1}{n-r} \cdot 3 \\ &= \frac{3(r+1)}{n-r} \end{aligned}$$

(3)

$n=99$ のとき、(2)の結果より

$$\frac{a_r}{a_{r+1}} = \frac{3(r+1)}{99-r}$$

となる。 $a_r$ と $a_{r+1}$ の大小関係を調べるために、$\frac{a_r}{a_{r+1}}$ と $1$ の大小を比較する。

$0 \leqq r \leqq 98$ であるから、常に $99-r > 0$ である。 $\frac{a_r}{a_{r+1}} \leqq 1$ すなわち $a_r \leqq a_{r+1}$ となる条件を求めると、

$$\frac{3(r+1)}{99-r} \leqq 1$$

$$3(r+1) \leqq 99-r$$

$$3r + 3 \leqq 99-r$$

$$4r \leqq 96$$

$$r \leqq 24$$

したがって、$r$ の値と隣り合う項の大小関係は以下のようになる。

$r < 24$ のとき、$\frac{a_r}{a_{r+1}} < 1$ より $a_r < a_{r+1}$ $r = 24$ のとき、$\frac{a_r}{a_{r+1}} = 1$ より $a_{24} = a_{25}$ $r > 24$ のとき、$\frac{a_r}{a_{r+1}} > 1$ より $a_r > a_{r+1}$

これより、数列 $\{a_r\}$ の増減は

$$a_0 < a_1 < \cdots < a_{23} < a_{24} = a_{25} > a_{26} > \cdots > a_{99}$$

となる。よって、$a_r$ が最大となる $r$ の値は $24$ と $25$ である。

解説

二項定理の係数の最大値を求める標準的な問題である。数列の最大値を求める際、変数が離散的であるため微分などの連続関数向けの道具は使えない。そのため、隣り合う2項の比をとり、$1$ と比較して増減を調べる手法が定石となる。本問では(2)で比 $\frac{a_r}{a_{r+1}}$ を求める誘導が親切についているため、それに従って計算を進めればよい。比の計算においては、階乗の定義 $n! = n \cdot (n-1)!$ などを活用して約分する計算処理に慣れておくことが重要である。