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数学2 距離問題 6 解説

方針・初手

(1) は、直線上の点の座標をベクトルを用いて表すのが簡明である。ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ と同じ向きの単位ベクトルを利用して表すことから始める。(2) は2点間の距離の公式を用いて $a$ についての方程式を導く。整理する過程で高次方程式となるため、相反方程式の解法を用いる。(3) はベクトルの内積、または直線の傾きと $\tan$ の関係を利用して角を求める。

解法1

(1)

点 $\mathrm{B}(-1, 0)$、$\mathrm{Q}(0, a)$ より、直線 $\mathrm{BQ}$ の方向ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ は

$$\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = (1, a)$$

であり、その大きさは

$$|\overrightarrow{\mathrm{BQ}}| = \sqrt{1^2 + a^2} = \sqrt{1+a^2}$$

である。点 $\mathrm{P}(p_1, p_2)$ は第 $1$ 象限の点であり、かつ直線 $\mathrm{BQ}$ 上にあるから、$x$ 座標の大小関係は $-1 < 0 < p_1$ となる。したがって、点 $\mathrm{B}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{P}$ はこの順に並ぶから、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{QP}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ と同じ向きである。条件 $\mathrm{QP} = \sqrt{2}$ より、

$$\overrightarrow{\mathrm{QP}} = \frac{\sqrt{2}}{|\overrightarrow{\mathrm{BQ}}|} \overrightarrow{\mathrm{BQ}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+a^2}} (1, a) = \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+a^2}}, \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}} \right)$$

となる。よって、

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{OQ}} + \overrightarrow{\mathrm{QP}} = (0, a) + \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+a^2}}, \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+a^2}}, a + \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}} \right)$$

以上より、

$$p_1 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+a^2}}, \quad p_2 = a + \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}}$$

である。（$0<a<1$ のとき、確かに $p_1>0, p_2>0$ を満たし第 $1$ 象限の点となる。）

(2)

条件 $\mathrm{AP} = \sqrt{2}$ より $\mathrm{AP}^2 = 2$ である。 $\mathrm{A}(0, 1)$ であるから、

$$p_1^2 + (p_2 - 1)^2 = 2$$

(1) で求めた $p_1$、$p_2$ を代入すると、

$$\frac{2}{1+a^2} + \left( a - 1 + \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}} \right)^2 = 2$$

$$\frac{2}{1+a^2} + (a - 1)^2 + \frac{2\sqrt{2}a(a-1)}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{2a^2}{1+a^2} = 2$$

$$\frac{2(1+a^2)}{1+a^2} + (a - 1)^2 + \frac{2\sqrt{2}a(a-1)}{\sqrt{1+a^2}} = 2$$

$$2 + (a - 1)^2 + \frac{2\sqrt{2}a(a-1)}{\sqrt{1+a^2}} = 2$$

$$(a - 1)^2 + \frac{2\sqrt{2}a(a-1)}{\sqrt{1+a^2}} = 0$$

$0 < a < 1$ より $a - 1 \neq 0$ であるから、両辺を $a-1$ で割って整理すると、

$$a - 1 + \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}} = 0$$

$$1 - a = \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{1+a^2}}$$

$0 < a < 1$ においては両辺ともに正である。両辺を $2$ 乗すると、

$$(1 - a)^2 = \frac{8a^2}{1+a^2}$$

$$(1 - 2a + a^2)(1 + a^2) = 8a^2$$

$$1 + a^2 - 2a - 2a^3 + a^2 + a^4 = 8a^2$$

$$a^4 - 2a^3 - 6a^2 - 2a + 1 = 0$$

$a=0$ は解ではないので、両辺を $a^2$ で割ると、

$$a^2 - 2a - 6 - \frac{2}{a} + \frac{1}{a^2} = 0$$

$$\left( a^2 + \frac{1}{a^2} \right) - 2 \left( a + \frac{1}{a} \right) - 6 = 0$$

$t = a + \frac{1}{a}$ とおくと、$a^2 + \frac{1}{a^2} = t^2 - 2$ であるから、

$$(t^2 - 2) - 2t - 6 = 0$$

$$t^2 - 2t - 8 = 0$$

$$(t - 4)(t + 2) = 0$$

$a > 0$ より $t = a + \frac{1}{a} > 0$ であるから、$t = 4$ となる。したがって、

$$a + \frac{1}{a} = 4$$

$$a^2 - 4a + 1 = 0$$

これを解いて $a = 2 \pm \sqrt{3}$。 $0 < a < 1$ の条件を満たすものは、

$$a = 2 - \sqrt{3}$$

である。

(3)

(2) より $a = 2 - \sqrt{3}$ であるから、$\mathrm{Q}(0, 2-\sqrt{3})$ である。 $\overrightarrow{\mathrm{BA}} = (1, 1)$、$\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = (1, 2-\sqrt{3})$ である。 $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$ のなす角が $\angle \mathrm{ABQ}$ である。内積を計算すると、

$$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}} = 1 \times 1 + 1 \times (2-\sqrt{3}) = 3 - \sqrt{3}$$

また、それぞれのベクトルの大きさは、

$$|\overrightarrow{\mathrm{BA}}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

$$|\overrightarrow{\mathrm{BQ}}| = \sqrt{1^2 + (2-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 4 - 4\sqrt{3} + 3} = \sqrt{8 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{8 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$$

したがって、

$$\cos \angle \mathrm{ABQ} = \frac{\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}}{|\overrightarrow{\mathrm{BA}}| |\overrightarrow{\mathrm{BQ}}|} = \frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$$

分母を整理すると、

$$\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2}) = \sqrt{12} - 2 = 2\sqrt{3} - 2 = 2(\sqrt{3} - 1)$$

分子は $\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$ と因数分解できるので、

$$\cos \angle \mathrm{ABQ} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$0 < \angle \mathrm{ABQ} < \pi$ であるから、

$$\angle \mathrm{ABQ} = \frac{\pi}{6}$$

である。

解法2

(3) の別解

$\mathrm{A}(0, 1)$、$\mathrm{B}(-1, 0)$ より、直線 $\mathrm{AB}$ の傾きは $1$ である。したがって、直線 $\mathrm{AB}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角は $\frac{\pi}{4}$ である。また、(2) より $\mathrm{Q}(0, 2-\sqrt{3})$ であるから、直線 $\mathrm{BQ}$ の傾きは $2-\sqrt{3}$ である。直線 $\mathrm{BQ}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とおくと、$\tan \theta = 2-\sqrt{3}$ である。ここで、$\tan$ の加法定理より

$$\tan \frac{\pi}{12} = \tan \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \frac{\pi}{6}}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{6}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$$

であるから、$\theta = \frac{\pi}{12}$ である。 $\angle \mathrm{ABQ}$ は、直線 $\mathrm{AB}$ と直線 $\mathrm{BQ}$ のなす角であるから、

$$\angle \mathrm{ABQ} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$$

である。

解説

(1) では、点が直線上に乗るという条件をベクトルを用いて処理するのが定石である。(2) では代入した後の式の整理がポイントになる。$\frac{2}{1+a^2}$ と $\frac{2a^2}{1+a^2}$ の和が $2$ になることに気付くと、式が劇的に簡略化される。また、そこで現れる $4$ 次方程式は係数が左右対称な相反方程式であり、$t=a+\frac{1}{a}$ とおくことで $2$ 次方程式に帰着させる典型的な解法を用いている。(3) はベクトルの内積から $\cos$ を求めるか、直線の傾きから $\tan$ の加法定理を利用するかのどちらかである。どちらも計算量は同程度だが、$\tan \frac{\pi}{12} = 2-\sqrt{3}$ は有名角の値として覚えておくと見通しが良くなる。