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数学2 直線問題 3 解説

方針・初手

三角形 $\text{OAB}$ の面積を求めたのち、直線 $y = mx + m + 1$ がこの面積を $2$ 等分する条件を立式する。直線の式は $y = m(x+1) + 1$ と変形できるため、傾き $m$ の値によらず定点 $\text{C}(-1, 1)$ を通ることに着目する。直線が定点 $\text{C}$ を中心に回転するとき、三角形のどの辺と交わるかが $m$ の値によって変化するため、交わる辺の組み合わせで場合分けを行って面積を計算する。

解法1

三角形 $\text{OAB}$ は、底辺を $\text{OA} = 4$、高さを点 $\text{B}$ の $y$ 座標の $2$ とみることができる。よって、その面積 $S$ は

$$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$$

である。条件より、直線 $y = mx + m + 1$ がこの面積を $2$ 等分するので、分割された一方の図形の面積が $2$ となればよい。

直線 $l: y = m(x+1) + 1$ は、定点 $\text{C}(-1,1)$ を通る傾き $m$ の直線である。直線 $l$ が三角形 $\text{OAB}$ の各頂点を通るときの $m$ の値を求める。

$\text{O}(0,0)$ を通るとき: $0 = m + 1 \iff m = -1$
$\text{A}(4,0)$ を通るとき: $0 = 5m + 1 \iff m = -\frac{1}{5}$
$\text{B}(2,2)$ を通るとき: $2 = 3m + 1 \iff m = \frac{1}{3}$

点 $\text{C}(-1,1)$ の位置関係から、直線 $l$ が三角形 $\text{OAB}$ の内部と交わるのは $-1 < m < \frac{1}{3}$ の範囲である。交わる辺の組で以下のように場合分けを行う。

(i) $-1 < m \leqq -\frac{1}{5}$ のとき

直線 $l$ は線分 $\text{OA}$ および線分 $\text{OB}$ と交わる。それぞれの交点を $\text{P}$、$\text{Q}$ とおく。直線 $l$ と $x$ 軸（直線 $\text{OA}$）の交点 $\text{P}$ の $x$ 座標は、$y=0$ より

$$m(x+1)+1 = 0 \iff x = -\frac{m+1}{m}$$

よって、$\text{P}\left(-\frac{m+1}{m}, 0\right)$ である。また、直線 $\text{OB}$ の方程式は $y=x$ であり、これと直線 $l$ の交点 $\text{Q}$ の $x$ 座標は

$$x = mx+m+1 \iff (1-m)x = m+1 \iff x = \frac{m+1}{1-m}$$

よって、$\text{Q}\left(\frac{m+1}{1-m}, \frac{m+1}{1-m}\right)$ である。このとき、$\triangle\text{OPQ}$ の面積が $2$ になると仮定すると、

$$\frac{1}{2} \cdot \text{OP} \cdot (\text{Qの}y\text{座標}) = 2$$

$$\frac{1}{2} \left(-\frac{m+1}{m}\right) \left(\frac{m+1}{1-m}\right) = 2 \iff -(m+1)^2 = 4m(1-m)$$

$$m^2 + 2m + 1 = 4m^2 - 4m \iff 3m^2 - 6m - 1 = 0$$

これを解くと $m = \frac{3 \pm 2\sqrt{3}}{3}$ を得る。しかし、$\sqrt{3} > 1.7$ より $2\sqrt{3} > 3.4$ であるから、$m = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{3} \approx -0.133$ となり、$-1 < m \leqq -\frac{1}{5} \ (= -0.2)$ を満たす実数 $m$ は存在しない。($\frac{3 + 2\sqrt{3}}{3} > 1$ も不適) したがって、この範囲で面積を $2$ 等分することはない。

(ii) $-\frac{1}{5} < m < \frac{1}{3}$ のとき

直線 $l$ は線分 $\text{AB}$ および線分 $\text{OB}$ と交わる。線分 $\text{AB}$ との交点を $\text{R}$ とおく。直線 $\text{AB}$ の方程式は $y - 0 = \frac{2-0}{2-4}(x-4) \iff y = -x+4$ である。これと直線 $l$ の交点 $\text{R}$ の $x$ 座標は

$$-x+4 = mx+m+1 \iff (m+1)x = 3-m \iff x = \frac{3-m}{m+1}$$

$y$ 座標は $y = -x+4 = -\frac{3-m}{m+1} + \frac{4m+4}{m+1} = \frac{5m+1}{m+1}$ である。よって、$\text{R}\left(\frac{3-m}{m+1}, \frac{5m+1}{m+1}\right)$ となる。また、線分 $\text{OB}$ との交点 $\text{Q}$ は (i) と同様に $\text{Q}\left(\frac{m+1}{1-m}, \frac{m+1}{1-m}\right)$ である。このとき、直線 $l$ によって分割される図形のうち、頂点 $\text{B}$ を含む $\triangle\text{BQR}$ の面積が $2$ になればよい。計算を簡略化するため、頂点 $\text{B}(2,2)$ が原点 $(0,0)$ に移るように平行移動すると、$\text{Q}$、$\text{R}$ の移動先 $\text{Q}'$、$\text{R}'$ の座標はそれぞれ

$$\text{Q}'\left(\frac{m+1}{1-m}-2, \frac{m+1}{1-m}-2\right) = \left(\frac{3m-1}{1-m}, \frac{3m-1}{1-m}\right)$$

$$\text{R}'\left(\frac{3-m}{m+1}-2, \frac{5m+1}{m+1}-2\right) = \left(\frac{1-3m}{m+1}, \frac{3m-1}{m+1}\right)$$

となる。したがって、$\triangle\text{BQR}$ の面積は

$$\frac{1}{2} \left| \frac{3m-1}{1-m} \cdot \frac{3m-1}{m+1} - \frac{3m-1}{1-m} \cdot \frac{1-3m}{m+1} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{2(3m-1)^2}{(1-m)(m+1)} \right|$$

と表せる。$-\frac{1}{5} < m < \frac{1}{3}$ において $1-m > 0$ かつ $m+1 > 0$ であるから、絶対値をそのまま外すことができる。面積が $2$ となる条件より、

$$\frac{(3m-1)^2}{1-m^2} = 2$$

$$9m^2 - 6m + 1 = 2 - 2m^2 \iff 11m^2 - 6m - 1 = 0$$

これを解くと、$m = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 11(-1)}}{11} = \frac{3 \pm 2\sqrt{5}}{11}$ を得る。ここで、$2 < \sqrt{5} < 3$ より $4 < 2\sqrt{5} < 6$ であるから、 $m = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{11}$ のときは $\frac{7}{11} < m < \frac{9}{11}$ となり、条件を満たさない。 $m = \frac{3 - 2\sqrt{5}}{11}$ のときは $-\frac{3}{11} < m < -\frac{1}{11}$ となる。 $-\frac{1}{5} = -\frac{11}{55}$、$-\frac{3}{11} = -\frac{15}{55}$ であることと、$\sqrt{5} \approx 2.236$ と評価すると $m \approx \frac{3 - 4.472}{11} \approx -0.133 > -0.2$ であることから、これは $-\frac{1}{5} < m < \frac{1}{3}$ の条件を満たす。

以上より、求める $m$ の値は定まる。

解説

面積を等分する直線を扱う問題では、直線が常に通る「定点」を見抜くことが最初の鍵となる。方程式を $m$ について整理することで定点を見つけるアプローチは頻出である。定点が分かれば、直線の傾き $m$ を変化させたときに、図形のどの辺と交わるかを視覚的に捉えやすくなる。各頂点を通るときの $m$ の値を境界として場合分けを行うのが定石である。また、三角形の面積計算において、一方の頂点を原点に平行移動させて $\frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$ を用いると、複雑な座標であっても比較的スムーズに計算を進めることができる。