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数学3 最大最小・解の個数問題 1 解説

方針・初手

(1) 導関数 $f'(x)$ を計算し、三角関数の和積の公式等を用いて因数分解し、$f'(x)=0$ となる $x$ の値を求める。増減表を作成し、端点と極値の大小を比較して最大値と最小値を決定する。

(2) (1) で調べた $f(x)$ の増減と極値を元に曲線 $y=f(x)$ の概形を把握し、直線 $y=a$ を上下に平行移動させたときの共有点の個数を視覚的・論理的に分類する。

解法1

(1)

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = \sin x - \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{3} \sin 3x \quad \left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\right)$$

これを $x$ で微分する。

$$f'(x) = \cos x - \cos 2x + \cos 3x$$

和と積の公式 $\cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ を用いて $\cos x + \cos 3x$ を変形する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= (\cos 3x + \cos x) - \cos 2x \\ &= 2 \cos 2x \cos x - \cos 2x \\ &= \cos 2x (2 \cos x - 1) \end{aligned}$$

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲において $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。 $\cos 2x = 0$ または $\cos x = \frac{1}{2}$ であり、$0 \leqq 2x \leqq \pi$ であるから、

$$\cos 2x = 0 \iff 2x = \frac{\pi}{2} \iff x = \frac{\pi}{4}$$

$$\cos x = \frac{1}{2} \iff x = \frac{\pi}{3}$$

これらを用いて、$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ における $f(x)$ の増減表を作成すると以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{3}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$\frac{2}{3}$

$x = 0$ のとき

$$f(0) = \sin 0 - \frac{1}{2}\sin 0 + \frac{1}{3}\sin 0 = 0$$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= \sin\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}\sin\frac{3\pi}{4} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{6} \\ &= \frac{4\sqrt{2}-3}{6} \end{aligned}$$

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \sin\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} + \frac{1}{3}\sin\pi \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} \end{aligned}$$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \sin\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin\pi + \frac{1}{3}\sin\frac{3\pi}{2} \\ &= 1 - 0 + \frac{1}{3} \cdot (-1) \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

増減表より、最小値の候補は端点の値 $f(0)=0$ と極小値 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}$ である。$0 < \frac{\sqrt{3}}{4}$ より、最小値は $0$ である。最大値の候補は極大値 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{4\sqrt{2}-3}{6}$ と端点の値 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{3}$ である。これらの大小を比較する。

$$f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{3} - \frac{4\sqrt{2}-3}{6} = \frac{4 - (4\sqrt{2}-3)}{6} = \frac{7 - 4\sqrt{2}}{6}$$

ここで、$7^2 = 49$、$(4\sqrt{2})^2 = 32$ より $7 > 4\sqrt{2}$ であるから、$\frac{7 - 4\sqrt{2}}{6} > 0$ となる。したがって $f\left(\frac{\pi}{2}\right) > f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ となり、最大値は $\frac{2}{3}$ である。

(2)

方程式 $f(x) = a$ の実数解の個数は、$xy$ 平面における曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に等しい。 (1) の増減表から、曲線 $y=f(x)$ $\left(0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\right)$ の $y$ 座標のとりうる値は、各区間で以下のようになる。

$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ のとき：$0$ から $\frac{4\sqrt{2}-3}{6}$ まで単調増加
$\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$ のとき：$\frac{4\sqrt{2}-3}{6}$ から $\frac{\sqrt{3}}{4}$ まで単調減少
$\frac{\pi}{3} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ のとき：$\frac{\sqrt{3}}{4}$ から $\frac{2}{3}$ まで単調増加

それぞれの値の大小関係は $0 < \frac{\sqrt{3}}{4} < \frac{4\sqrt{2}-3}{6} < \frac{2}{3}$ である。直線 $y = a$ を $a$ の値を変えながら上下に動かして共有点の個数を調べると、次のようになる。

$a < 0$ または $a > \frac{2}{3}$ のとき、共有点は $0$ 個。
$0 \leqq a < \frac{\sqrt{3}}{4}$ のとき、区間 $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4}$ でのみ $1$ 回交わるため、$1$ 個。
$a = \frac{\sqrt{3}}{4}$ のとき、$x = \frac{\pi}{3}$ と $0 < x < \frac{\pi}{4}$ の範囲の計 $2$ 個。
$\frac{\sqrt{3}}{4} < a < \frac{4\sqrt{2}-3}{6}$ のとき、それぞれの単調な区間で $1$ 回ずつ、計 $3$ 回交わるため、$3$ 個。
$a = \frac{4\sqrt{2}-3}{6}$ のとき、$x = \frac{\pi}{4}$ と $\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲の計 $2$ 個。
$\frac{4\sqrt{2}-3}{6} < a \leqq \frac{2}{3}$ のとき、区間 $\frac{\pi}{3} < x \leqq \frac{\pi}{2}$ でのみ $1$ 回交わるため、$1$ 個。

解説

三角関数の導関数の符号を調べる典型的な問題である。和を積に直す公式などを用いて因数分解の形を作ることがポイントとなる。 (1) では最大値の候補となる $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ と $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ の大小比較が不可欠である。平方根を含む値と有理数の大小比較は、差をとって正負を判定するか、2乗して比較するのが定石である。 (2) では (1) で調べた増減と極値を元に、グラフの上下動をイメージして共有点の個数をカウントすればよい。極大値、極小値、端点の値が「境界」となるため、それらの値で場合分けを行う。