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京都大学 2023年理系第4問解説

方針・初手

$e^{-x^2} + \frac{1}{4}x^2 + 1$ という共通部分があるため、これを $t$ とおいて置換する。
まず置換した関数 $t = e^{-x^2} + \frac{1}{4}x^2 + 1$ の $-1 \leqq x \leqq 1$ におけるとり得る値の範囲（値域）を、微分を用いて求める。
その後、与えられた関数を $t$ の関数として表し、求めた $t$ の範囲における最大値と最小値を求める。

解法1

$t = e^{-x^2} + \frac{1}{4}x^2 + 1$ とおく。 $t$ を $x$ で微分すると、

$$ \frac{dt}{dx} = -2x e^{-x^2} + \frac{1}{2}x = x\left(-2e^{-x^2} + \frac{1}{2}\right) $$

ここで、$-1 \leqq x \leqq 1$ より $0 \leqq x^2 \leqq 1$ である。底が $e > 1$ であるから、$e^{-1} \leqq e^{-x^2} \leqq e^0 = 1$ が成り立つ。問題文より $e = 2.71\cdots < 4$ であるから、$e^{-1} = \frac{1}{e} > \frac{1}{4}$ である。したがって、$e^{-x^2} > \frac{1}{4}$ より、$-2e^{-x^2} < -\frac{1}{2}$ となり、区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ において常に

$$ -2e^{-x^2} + \frac{1}{2} < 0 $$

が成り立つ。よって、$\frac{dt}{dx}$ の符号は $x$ の符号と逆になる。

$-1 \leqq x < 0$ のとき、$\frac{dt}{dx} > 0$ （$t$ は単調増加）
$x = 0$ のとき、$\frac{dt}{dx} = 0$
$0 < x \leqq 1$ のとき、$\frac{dt}{dx} < 0$ （$t$ は単調減少）

したがって、$t$ は $x = 0$ で最大値、$x = \pm 1$ で最小値をとる。 $x = 0$ のとき、$t = e^0 + 0 + 1 = 2$ $x = \pm 1$ のとき、$t = e^{-1} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{e} + \frac{5}{4} = \frac{5e+4}{4e}$ ゆえに、$t$ のとり得る値の範囲は

$$ \frac{5e+4}{4e} \leqq t \leqq 2 $$

となる。なお、$\frac{5e+4}{4e} = \frac{1}{e} + \frac{5}{4} > \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{3}{2} > 1$ である。

次に、与えられた関数 $f(x)$ を $t$ で表した関数を $g(t)$ とおくと、

$$ g(t) = t + \frac{1}{t} $$

$g(t)$ を $t$ で微分すると、

$$ g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2} = \frac{t^2 - 1}{t^2} $$

$t \geqq \frac{5e+4}{4e} > 1$ の範囲において、$t^2 - 1 > 0$ であるから、$g'(t) > 0$ となる。したがって、$g(t)$ はこの範囲で単調増加する。

よって、$g(t)$ は $t = 2$ のとき最大値をとり、$t = \frac{5e+4}{4e}$ のとき最小値をとる。最大値は、

$$ g(2) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} $$

最小値は、

$$ g\left(\frac{5e+4}{4e}\right) = \frac{5e+4}{4e} + \frac{4e}{5e+4} = \frac{(5e+4)^2 + (4e)^2}{4e(5e+4)} = \frac{25e^2 + 40e + 16 + 16e^2}{4e(5e+4)} = \frac{41e^2 + 40e + 16}{4e(5e+4)} $$

（最小値の式の分母を展開して $20e^2 + 16e$ としてもよい）

解説

共通の式を一つの文字 $t$ に置き換えて、関数のとり得る値の範囲を2段階で調べる定石問題です。
置換した $t$ の変域を正確に求めることが最大のポイントです。導関数を求めた後、「$-2e^{-x^2} + \frac{1}{2}$」の符号判定に迷うかもしれませんが、問題文に与えられた $e = 2.71\cdots$ という近似値を用いて $e < 4$ であることに気づければ、常に負であることが証明できます。
$f(x)$ を置換した $y = t + \frac{1}{t}$ は、微分（または相加平均と相乗平均の関係）から $t > 1$ において単調増加であることがすぐに分かります。したがって、$t$ の変域の両端がそのまま $f(x)$ の最大値と最小値に対応します。