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京都大学 2025年理系第3問解説

方針・初手

$f(x)$ を微分して接線の傾きを求め、そこから垂直な直線 $l_t$（法線）の方程式を立式します。その後、$y=0$ を代入して $x$ 座標 $p(t)$ を $t$ の式で表し、微積分を用いて $p(t)$ の増減を調べて値域を求めるという、数学IIIの微分の標準的な問題です。

解法1

$f(x) = x^2 \log x$ より、積の微分法を用いて

$f'(x) = 2x \log x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = x(2\log x + 1)$

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の傾きは $f'(t) = t(2\log t + 1)$ である。 $t > \frac{1}{\sqrt{e}}$ より $\log t > -\frac{1}{2}$ であるから、$2\log t + 1 > 0$ であり、また $t > 0$ より $f'(t) > 0$ となる。したがって、点 $(t, f(t))$ における接線に垂直な直線（法線）の傾きは $-\frac{1}{f'(t)} = -\frac{1}{t(2\log t + 1)}$ と表せる。

直線 $l_t$ は、点 $(t, g(t))$ を通り傾き $-\frac{1}{t(2\log t + 1)}$ の直線であるから、その方程式は

$y - g(t) = -\frac{1}{t(2\log t + 1)}(x - t)$

直線 $l_t$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標が $p(t)$ であるから、$y = 0, x = p(t)$ を代入して

$-g(t) = -\frac{1}{t(2\log t + 1)}(p(t) - t)$

これを $p(t)$ について解くと、

$p(t) - t = t(2\log t + 1)g(t)$

ここで $g(t) = t^2 \log t - \frac{1}{1 + 2\log t}$ を代入すると、

$\begin{aligned} p(t) &= t + t(2\log t + 1) \left( t^2 \log t - \frac{1}{1 + 2\log t} \right) \ &= t + t^3 \log t (2\log t + 1) - t \ &= t^3 (2(\log t)^2 + \log t) \end{aligned}$

次に、$p(t)$ の増減を調べるために $t$ で微分する。

$\begin{aligned} p'(t) &= 3t^2 (2(\log t)^2 + \log t) + t^3 \left( 4\log t \cdot \frac{1}{t} + \frac{1}{t} \right) \ &= t^2 \left{ 3(2(\log t)^2 + \log t) + 4\log t + 1 \right} \ &= t^2 (6(\log t)^2 + 7\log t + 1) \ &= t^2 (\log t + 1)(6\log t + 1) \end{aligned}$

$t > \frac{1}{\sqrt{e}}$ より $\log t > -\frac{1}{2}$ であるため、常に $\log t + 1 > \frac{1}{2} > 0$ である。また $t^2 > 0$ であるから、$p'(t)$ の符号は $6\log t + 1$ の符号と一致する。 $p'(t) = 0$ となるのは $6\log t + 1 = 0$ すなわち $\log t = -\frac{1}{6}$ のときであり、このとき $t = e^{-\frac{1}{6}}$ である。 $e^{-\frac{1}{2}} < e^{-\frac{1}{6}} < e$ であるから、$\frac{1}{\sqrt{e}} < t \leqq e$ における $p(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)$	$\cdots$	$e^{-\frac{1}{6}}$	$\cdots$	$e$
$p'(t)$		$-$	$0$	$+$
$p(t)$	$(0)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$3e^3$

ここで、極小値は

$\begin{aligned} p(e^{-\frac{1}{6}}) &= (e^{-\frac{1}{6}})^3 \left( 2\left(-\frac{1}{6}\right)^2 + \left(-\frac{1}{6}\right) \right) \ &= e^{-\frac{1}{2}} \left( \frac{2}{36} - \frac{1}{6} \right) \ &= e^{-\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{18} - \frac{3}{18} \right) \ &= -\frac{1}{9} e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{9\sqrt{e}} \end{aligned}$

$t = e$ のときの値は

$p(e) = e^3 (2 \cdot 1^2 + 1) = 3e^3$

また、$t \to \frac{1}{\sqrt{e}} + 0$ のときの極限は、

$\lim_{t \to \frac{1}{\sqrt{e}} + 0} p(t) = (e^{-\frac{1}{2}})^3 \left( 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) \right) = e^{-\frac{3}{2}} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) = 0$

増減表より、$p(t)$ は $t = e^{-\frac{1}{6}}$ で最小値 $-\frac{1}{9\sqrt{e}}$ をとり、$t = e$ で最大値 $3e^3$ をとる。極限値 $0$ はこの最小値と最大値の間に含まれるため、値域に影響しない。

よって、$p(t)$ の取りうる値の範囲は $-\frac{1}{9\sqrt{e}} \leqq p(t) \leqq 3e^3$ である。

解説

接線に垂直な直線の方程式を立式し、交点を求めて関数化し、さらにその関数の増減を微分で調べるという一本道の問題です。$g(t)$ の複雑な形が $p(t)$ を求める過程できれいに相殺されるため、計算ミスがないかどうかの自己チェックが容易になっています。微分の計算では積の微分法と合成関数の微分法を正確に行う力が問われます。