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名古屋大学 2025年理系第1問解説

方針・初手

(1) 関数 $g(x)$ の最大値を考えるため、導関数 $g'(x)$ を計算し、その符号の変化を調べる。$g''(x)$ を調べることで $g'(x)$ が単調減少であることがわかるため、問題で与えられた極限値の情報とあわせて中間値の定理を利用し、$g'(x)=0$ となる点の存在を示す。

(2) 与えられた $f(x)$ を $x$ で2回微分して $f''(x) > 0$ を示す。また、$x \to \infty$ および $x \to -\infty$ のときの $f'(x)$ の極限を計算する。

(3) (1) の結果より、$x_0$ は $g'(x_0) = 0$ を満たす点である。これを $f'(x_0) = c$ の形にし、(2) で求めた $f'(x)$ の式に代入して $x_0$ を $c$ で表す。その後、$g(x_0) = cx_0 - f(x_0)$ に代入して値を計算する。

解法1

(1) $g(x) = cx - f(x)$ の両辺を $x$ で微分すると、以下のようになる。

$$g'(x) = c - f'(x)$$

$$g''(x) = -f''(x)$$

仮定より、すべての実数 $x$ に対し $f''(x) > 0$ であるから、すべての $x$ において $g''(x) < 0$ が成り立つ。よって、導関数 $g'(x)$ は単調減少関数である。

また、$f'(x)$ の極限に関する条件から、$g'(x)$ の極限は以下のようになる。

$$\lim_{x \to -\infty} g'(x) = \lim_{x \to -\infty} \{c - f'(x)\} = c - a$$

$$\lim_{x \to \infty} g'(x) = \lim_{x \to \infty} \{c - f'(x)\} = c - b$$

条件 $a < c < b$ より、$c - a > 0$ かつ $c - b < 0$ であるから、次が成り立つ。

$$\lim_{x \to -\infty} g'(x) > 0, \quad \lim_{x \to \infty} g'(x) < 0$$

$f''(x)$ が存在することから $f'(x)$ は連続であり、$g'(x)$ も連続関数である。したがって、区間 $(-\infty, \infty)$ において $g'(x)$ は正から負へ連続的かつ単調に減少するため、$g'(x_0) = 0$ となる実数 $x_0$ がただひとつ存在する。

この $x_0$ の前後での $g'(x)$ の符号の変化は以下のようになる。 $x < x_0$ のとき、$g'(x) > 0$ $x > x_0$ のとき、$g'(x) < 0$

これより、$g(x)$ は区間 $x < x_0$ で単調増加、区間 $x > x_0$ で単調減少となるため、$x = x_0$ で極大かつ最大となる。以上より、関数 $g(x)$ の値を最大にする $x = x_0$ がただひとつ存在することが示された。

(2) 与えられた関数 $f(x)$ は合成関数の微分法により、以下のように微分できる。

$$f'(x) = \frac{\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)'}{\frac{e^x + e^{-x}}{2}} = \frac{\frac{e^x - e^{-x}}{2}}{\frac{e^x + e^{-x}}{2}} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

さらに商の微分法を用いて第2次導関数を求める。

$$f''(x) = \frac{(e^x + e^{-x})(e^x + e^{-x}) - (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x})}{(e^x + e^{-x})^2}$$

$$f''(x) = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2}$$

$$f''(x) = \frac{(e^{2x} + 2 + e^{-2x}) - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2}$$

すべての実数 $x$ に対して $e^x > 0, e^{-x} > 0$ より $(e^x + e^{-x})^2 > 0$ であるから、すべての $x$ に対し $f''(x) > 0$ をみたすことが示された。

次に極限値 $a, b$ を求める。

$$a = \lim_{x \to -\infty} f'(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$$

$x \to -\infty$ のとき $e^{2x} \to 0$ であるから、

$$a = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$$

また、$b$ についても同様に計算する。

$$b = \lim_{x \to \infty} f'(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}$$

$x \to \infty$ のとき $e^{-2x} \to 0$ であるから、

$$b = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$

(3) (2) の結果より、$a = -1, b = 1$ である。条件 $-1 < c < 1$ をみたす $c$ に対して、(1) で示した最大値を与える $x_0$ は $g'(x_0) = 0$ をみたす。すなわち、$c - f'(x_0) = 0$ より、次が成り立つ。

$$\frac{e^{x_0} - e^{-x_0}}{e^{x_0} + e^{-x_0}} = c$$

これを $x_0$ について解く。分母をはらって整理すると、

$$e^{x_0} - e^{-x_0} = c(e^{x_0} + e^{-x_0})$$

$$(1 - c)e^{x_0} = (1 + c)e^{-x_0}$$

両辺に $e^{x_0}$ をかけると、

$$(1 - c)e^{2x_0} = 1 + c$$

$-1 < c < 1$ より $1 - c > 0$ であるから、

$$e^{2x_0} = \frac{1 + c}{1 - c}$$

両辺の自然対数をとって、

$$2x_0 = \log \frac{1 + c}{1 - c}$$

$$x_0 = \frac{1}{2} \log \frac{1 + c}{1 - c}$$

次に $g(x_0)$ を求める。 $e^{2x_0} = \frac{1 + c}{1 - c}$ より、各項は次のように表される。

$$e^{x_0} = \sqrt{\frac{1 + c}{1 - c}}, \quad e^{-x_0} = \sqrt{\frac{1 - c}{1 + c}}$$

これを用いて、$f(x_0)$ の真数部分を計算する。

$$\frac{e^{x_0} + e^{-x_0}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{1 + c}}{\sqrt{1 - c}} + \frac{\sqrt{1 - c}}{\sqrt{1 + c}} \right)$$

$$= \frac{1}{2} \frac{(1 + c) + (1 - c)}{\sqrt{1 - c}\sqrt{1 + c}} = \frac{1}{\sqrt{1 - c^2}}$$

したがって、$f(x_0)$ は以下のようになる。

$$f(x_0) = \log \frac{1}{\sqrt{1 - c^2}} = -\frac{1}{2} \log (1 - c^2)$$

これを用いて $g(x_0) = cx_0 - f(x_0)$ を計算する。

$$g(x_0) = \frac{c}{2} \log \frac{1 + c}{1 - c} + \frac{1}{2} \log (1 - c^2)$$

対数の性質を用いて見やすく整理する。

$$g(x_0) = \frac{c}{2} \{ \log(1 + c) - \log(1 - c) \} + \frac{1}{2} \{ \log(1 + c) + \log(1 - c) \}$$

$$g(x_0) = \frac{1 + c}{2} \log (1 + c) + \frac{1 - c}{2} \log (1 - c)$$

解説

関数 $f(x)$ から新たな関数 $g(x) = cx - f(x)$ の最大値を考え、その最大値を $c$ の関数として構成する操作は、「ルジャンドル変換」と呼ばれる大学数学の概念を背景に持つ問題である。 (1) では導関数が単調減少であること（元の関数が下に凸であること）と極限から、最大値を与える点が唯一存在することを厳密に示している。増減表を直接書けない一般の関数の場合は、本問のように導関数の符号変化を記述することで論理的に過不足なく極値の存在を示せる。 (3) は具体的な関数で変換を計算する設問である。$e^{2x_0}$ を求めてから $e^{x_0}$ と $e^{-x_0}$ の値を作り出す工夫をすると、式変形がスムーズに進む。対数の計算を丁寧に行うことが完答への鍵となる。