数学3 無限級数 問題 3 解説

方針・初手

与えられた級数の各項の規則性を見つけ、一般項を $n$ を用いて表す。各項が2つの等比数列の差として表せることに着目し、それぞれの等比数列の和を計算して第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。最後に、$n \to \infty$ の極限をとることで無限級数の和を求める。

解法1

与えられた無限級数の第 $k$ 項を $a_k$ とすると、分子は $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ と続き、これは $2^k - 1$ と表される。また分母は $5^k$ であるから、一般項 $a_k$ は次のように表される。

$$a_k = \frac{2^k - 1}{5^k} = \left(\frac{2}{5}\right)^k - \left(\frac{1}{5}\right)^k$$

したがって、第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、初項 $\frac{2}{5}$、公比 $\frac{2}{5}$ の等比数列の第 $n$ 項までの和から、初項 $\frac{1}{5}$、公比 $\frac{1}{5}$ の等比数列の第 $n$ 項までの和を引いたものとなる。

$$\begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^{n} \left\{ \left(\frac{2}{5}\right)^k - \left(\frac{1}{5}\right)^k \right\} \\ &= \frac{\frac{2}{5}\left\{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n\right\}}{1 - \frac{2}{5}} - \frac{\frac{1}{5}\left\{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^n\right\}}{1 - \frac{1}{5}} \\ &= \frac{2}{3}\left\{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n\right\} - \frac{1}{4}\left\{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^n\right\} \\ &= \frac{5}{12} - \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^n + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{5}\right)^n \end{aligned}$$

次に、無限級数の和を求めるために $n \to \infty$ の極限をとる。

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{5}\right)^n = 0$$

であるから、無限級数の和は以下のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{5}{12}$$

解説

分母と分子の数列の規則性をそれぞれ独立に見抜くことが第一歩である。分子の数列 $1, 3, 7, 15, \dots$ の階差数列をとると $2, 4, 8, \dots$ となることから $2^k-1$ を導くこともできるが、$2$ の累乗から $1$ を引いた数であることに直感的に気づきたい。一般項を複数の等比数列の和・差の形に分解できれば、あとは等比数列の和の公式と極限の基本計算に帰着する典型的な問題である。

答え

[ア] $\frac{5}{12} - \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)^n + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{5}\right)^n$ または $\frac{2}{3}\left\{1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n\right\} - \frac{1}{4}\left\{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^n\right\}$

[イ] $\frac{5}{12}$