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数学3 無限級数問題 4 解説

方針・初手

数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ の公比をそれぞれ $r, s$ とおく。無限等比級数が収束するという条件から公比の取り得る範囲を確認したうえで、与えられた2つの和の条件を $r, s$ についての関係式として立式する。そこから $r, s$ の値を求め、目的の級数の和を計算する。

解法1

2つの等比数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ の公比をそれぞれ $r, s$ とおく。ともに初項は $1$ であり、無限等比級数が収束することから、

$$|r| < 1, \quad |s| < 1$$

が成り立つ。このとき、それぞれの和は次のように表される。

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{1}{1-r}, \quad \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{1}{1-s}$$

条件 $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n) = \frac{8}{3}$ より、

$$\frac{1}{1-r} + \frac{1}{1-s} = \frac{8}{3}$$

左辺を通分して整理する。

$$\frac{(1-s) + (1-r)}{(1-r)(1-s)} = \frac{8}{3}$$

$$\frac{2-(r+s)}{1-(r+s)+rs} = \frac{8}{3} \quad \cdots (1)$$

また、数列 $\{a_n b_n\}$ は一般項が $a_n b_n = r^{n-1} s^{n-1} = (rs)^{n-1}$ であるから、初項 $1$、公比 $rs$ の等比数列である。$|r| < 1$ かつ $|s| < 1$ より $|rs| < 1$ であるため、この無限等比級数も収束し、条件 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \frac{4}{5}$ より、

$$\frac{1}{1-rs} = \frac{4}{5}$$

これより、

$$1-rs = \frac{5}{4} \implies rs = -\frac{1}{4} \quad \cdots (2)$$

(2) を (1) に代入すると、

$$\frac{2-(r+s)}{1-(r+s)-\frac{1}{4}} = \frac{8}{3}$$

$$\frac{2-(r+s)}{\frac{3}{4}-(r+s)} = \frac{8}{3}$$

両辺に $3\left\{\frac{3}{4}-(r+s)\right\}$ を掛けて分母を払う。

$$3\{2-(r+s)\} = 8\left\{\frac{3}{4}-(r+s)\right\}$$

$$6 - 3(r+s) = 6 - 8(r+s)$$

$$5(r+s) = 0 \implies r+s = 0$$

これと $rs = -\frac{1}{4}$ より、$r, s$ は2次方程式 $t^2 - \frac{1}{4} = 0$ の2つの解である。したがって、

$$r, s = \pm \frac{1}{2}$$

であり、いずれも収束条件 $|r| < 1, |s| < 1$ を満たす。

次に、求める級数の一般項を展開する。

$$(a_n+b_n)^2 = a_n^2 + 2a_n b_n + b_n^2$$

ここで、数列 $\{a_n^2\}$ と $\{b_n^2\}$ はそれぞれ初項 $1$、公比 $r^2, s^2$ の等比数列である。$r^2 = \frac{1}{4} < 1, s^2 = \frac{1}{4} < 1$ であるから、これらを各項とする無限等比級数も収束する。したがって、和を分けて計算することができる。

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n)^2 &= \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + 2a_n b_n + b_n^2) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 + 2\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 \\ &= \frac{1}{1-r^2} + 2 \cdot \frac{4}{5} + \frac{1}{1-s^2} \\ &= \frac{1}{1-\frac{1}{4}} + \frac{8}{5} + \frac{1}{1-\frac{1}{4}} \\ &= \frac{4}{3} + \frac{8}{5} + \frac{4}{3} \\ &= \frac{8}{3} + \frac{8}{5} \\ &= \frac{64}{15} \end{aligned}$$

解法2

解法1と同様にして、$r+s=0, rs=-\frac{1}{4}$ を導く。求める和は各級数が収束することから次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n)^2 &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 + 2\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n + \sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 \\ &= \frac{1}{1-r^2} + \frac{8}{5} + \frac{1}{1-s^2} \end{aligned}$$

ここで、対称式の性質を用いて $\frac{1}{1-r^2} + \frac{1}{1-s^2}$ の部分を計算する。

$$\begin{aligned} \frac{1}{1-r^2} + \frac{1}{1-s^2} &= \frac{(1-s^2) + (1-r^2)}{(1-r^2)(1-s^2)} \\ &= \frac{2-(r^2+s^2)}{1-(r^2+s^2)+r^2 s^2} \end{aligned}$$

$r+s=0, rs=-\frac{1}{4}$ より、

$$r^2+s^2 = (r+s)^2 - 2rs = 0^2 - 2\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

$$r^2 s^2 = (rs)^2 = \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$$

これらを代入する。

$$\frac{2-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{16}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{8}{3}$$

したがって、求める和は

$$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n+b_n)^2 = \frac{8}{3} + \frac{8}{5} = \frac{64}{15}$$

解説

無限等比級数の和の公式 $\frac{a}{1-r}$ を利用し、与えられた条件を公比に関する関係式に帰着させる標準的な問題である。

計算を進めるにあたり、$\{a_n b_n\}, \{a_n^2\}, \{b_n^2\}$ といった数列が等比数列になることや、その公比の絶対値が $1$ より小さく級数が収束することをきちんと確認することが論理的な答案を作成するうえで重要である。級数が収束しない場合、和の公式を適用したり $\sum$ を分配したりすることはできない。