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数学3 無限級数問題 10 解説

方針・初手

対数の性質 $\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$ を用いて、各項を差の形に変形する。第 $n$ 項までの部分和を求め、隣り合う項が次々と相殺されて簡潔な式になることを利用してから、極限を計算する。

解法1

(1)

与えられた無限級数の第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とする。対数の真数部分を通分すると、

$$1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$$

となるから、第 $k$ 項は

$$\log\left(1+\frac{1}{k}\right) = \log\left(\frac{k+1}{k}\right) = \log(k+1) - \log k$$

と変形できる。よって、部分和 $S_n$ は

$$\begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^n \{ \log(k+1) - \log k \} \\ &= (\log 2 - \log 1) + (\log 3 - \log 2) + \cdots + (\log(n+1) - \log n) \\ &= \log(n+1) - \log 1 \\ &= \log(n+1) \end{aligned}$$

ここで $n \to \infty$ とすると $\log(n+1) \to \infty$ となる。したがって、$\lim_{n \to \infty} S_n = \infty$ であり、この無限級数は発散する。

(2)

与えられた無限級数の第 $n$ 項までの部分和（$k=2$ から $n$ までの和）を $T_n$ とする。対数の真数部分を通分して因数分解すると、

$$1 + \frac{1}{k^2-1} = \frac{k^2}{k^2-1} = \frac{k^2}{(k-1)(k+1)} = \frac{k}{k-1} \cdot \frac{k}{k+1}$$

となるから、第 $k$ 項は

$$\begin{aligned} \log\left(1+\frac{1}{k^2-1}\right) &= \log\left( \frac{k}{k-1} \cdot \frac{k}{k+1} \right) \\ &= \log\left(\frac{k}{k-1}\right) + \log\left(\frac{k}{k+1}\right) \\ &= \log\left(\frac{k}{k-1}\right) - \log\left(\frac{k+1}{k}\right) \end{aligned}$$

と変形できる。よって、部分和 $T_n$ は

$$\begin{aligned} T_n &= \sum_{k=2}^n \left\{ \log\left(\frac{k}{k-1}\right) - \log\left(\frac{k+1}{k}\right) \right\} \\ &= \left( \log\frac{2}{1} - \log\frac{3}{2} \right) + \left( \log\frac{3}{2} - \log\frac{4}{3} \right) + \cdots + \left( \log\frac{n}{n-1} - \log\frac{n+1}{n} \right) \\ &= \log 2 - \log\frac{n+1}{n} \end{aligned}$$

ここで $n \to \infty$ とすると、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) = 1$$

であるから、

$$\lim_{n \to \infty} T_n = \log 2 - \log 1 = \log 2$$

となる。したがって、この無限級数は収束し、その和は $\log 2$ である。

解説

無限級数の和を計算する際、いきなり無限大を扱うのではなく、まずは第 $n$ 項までの「部分和」を立式してから $n \to \infty$ の極限をとるのが鉄則である。対数を含む数列の和では、$\log \frac{A}{B} = \log A - \log B$ の形に変形して項を連続的に相殺させる（階差の形を作る）手法が非常によく用いられる。(2) において、真数を $\frac{k}{k-1} \cdot \frac{k}{k+1}$ と分けることで、$f(k) - f(k+1)$ の形を作り出せるかどうかが解答の鍵となる。