数学3 無限級数 問題 12 解説

方針・初手

指数法則を用いて一般項を扱いやすい形に分解し、複数の等比数列の形を作る。その後、それぞれの無限等比級数が収束することを確認し、和の公式を用いて計算を行う。

解法1

与えられた無限級数の一般項を変形する。

$$\frac{3^{2-n} - (-1)^n}{2^{3n+1}} = \frac{3^2 \cdot 3^{-n}}{2 \cdot 2^{3n}} - \frac{(-1)^n}{2 \cdot 2^{3n}}$$

$$= \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3^n \cdot 8^n} - \frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^n}{8^n}$$

$$= \frac{9}{2} \left( \frac{1}{24} \right)^n - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{8} \right)^n$$

したがって、与えられた無限級数は2つの等比数列の和として表すことができる。それぞれの数列の公比は $\frac{1}{24}$ および $-\frac{1}{8}$ であり、いずれも絶対値が $1$ より小さいため、これらの無限等比級数は収束する。

よって、それぞれの級数の和を別々に計算して差し引くことができる。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{2-n} - (-1)^n}{2^{3n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{9}{2} \left( \frac{1}{24} \right)^n - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{8} \right)^n$$

第1項の無限等比級数について、初項は $\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{24} = \frac{3}{16}$、公比は $\frac{1}{24}$ である。その和を計算すると次のようになる。

$$\frac{\frac{3}{16}}{1 - \frac{1}{24}} = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{23}{24}} = \frac{3}{16} \cdot \frac{24}{23} = \frac{9}{46}$$

第2項の無限等比級数について、初項は $\frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{8} \right) = -\frac{1}{16}$、公比は $-\frac{1}{8}$ である。その和を計算すると次のようになる。

$$\frac{-\frac{1}{16}}{1 - \left(-\frac{1}{8}\right)} = \frac{-\frac{1}{16}}{\frac{9}{8}} = -\frac{1}{16} \cdot \frac{8}{9} = -\frac{1}{18}$$

これらより、求める無限級数の和は次のように計算できる。

$$\frac{9}{46} - \left( -\frac{1}{18} \right) = \frac{9}{46} + \frac{1}{18}$$

分母を $46 = 2 \cdot 23$ と $18 = 2 \cdot 9$ の最小公倍数である $2 \cdot 23 \cdot 9 = 414$ に通分する。

$$\frac{9 \cdot 9}{414} + \frac{1 \cdot 23}{414} = \frac{81 + 23}{414} = \frac{104}{414} = \frac{52}{207}$$

解説

指数法則を用いて一般項を整理し、基本的な無限等比級数の形に帰着させる典型的な計算問題である。

分母や分子に $n$ を含む項が複数ある場合は、係数部分と $n$ 乗部分を分離し、$r^n$ の形を作り出すと見通しが良くなる。また、級数を分割して計算する際は、それぞれの級数が収束すること（公比 $r$ が $-1 < r < 1$ を満たすこと）を前提として分配法則を用いている点に注意が必要である。

答え

$$\frac{52}{207}$$