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数学3 無限級数問題 13 解説

方針・初手

(1) 与えられた漸化式は $a_n = \frac{p a_{n-1}}{q a_{n-1} + r}$ の形をしており、特に分子が $a_{n-1}$ のみの項となっている。このような分数型の漸化式は、両辺の逆数をとることで基本的な等差数列や階差数列の形に帰着できる。

(2) (1)で求めた $a_n$ の一般項を代入し、シグマ記号を用いた和の計算を行う。

(3) (2)の結果を用いると、無限級数の一般項は分母が3つの連続する整数の積となる。これを部分分数に分解し、途中項が相殺される形（望遠鏡和）を作り出して極限をとる。

解法1

(1)

$a_1 = 1 > 0$ であり、漸化式 $a_n = \frac{a_{n-1}}{(2n-1)a_{n-1} + 1}$ より、帰納的にすべての自然数 $n$ について $a_n > 0$ であることがわかる。

したがって、漸化式の両辺の逆数をとることができ、

$$\frac{1}{a_n} = \frac{(2n-1)a_{n-1} + 1}{a_{n-1}}$$

$$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_{n-1}} + 2n - 1$$

となる。ここで $c_n = \frac{1}{a_n}$ とおくと、$c_1 = \frac{1}{a_1} = 1$ であり、

$$c_n - c_{n-1} = 2n - 1 \quad (n \ge 2)$$

となる。これは数列 $\{c_n\}$ の階差数列の一般項が $2n - 1$ であることを示している。

$n \ge 2$ のとき、

$$\begin{aligned} c_n &= c_1 + \sum_{k=2}^n (2k - 1) \\ &= 1 + \frac{1}{2} (n - 1) \{ 3 + (2n - 1) \} \\ &= 1 + \frac{1}{2} (n - 1) (2n + 2) \\ &= 1 + (n - 1)(n + 1) \\ &= n^2 \end{aligned}$$

この式は $n=1$ のときも $1^2 = 1$ となり、$c_1 = 1$ と一致するため成り立つ。

したがって、$c_n = n^2$ となるので、

$$a_n = \frac{1}{n^2}$$

(2)

(1)の結果より、$a_k = \frac{1}{k^2}$ であるから、$k > 0$ に注意すると $\frac{1}{\sqrt{a_k}} = \sqrt{k^2} = k$ となる。

これを用いて $b_n$ をシグマ記号で表すと、

$$\begin{aligned} b_n &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{a_k a_{n-k+1}}} \\ &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{a_k}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a_{n-k+1}}} \\ &= \sum_{k=1}^n k (n - k + 1) \end{aligned}$$

となる。これを計算する。

$$\begin{aligned} b_n &= \sum_{k=1}^n \{ (n+1)k - k^2 \} \\ &= (n+1) \sum_{k=1}^n k - \sum_{k=1}^n k^2 \\ &= (n+1) \cdot \frac{1}{2}n(n+1) - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ &= \frac{1}{6}n(n+1) \{ 3(n+1) - (2n+1) \} \\ &= \frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \end{aligned}$$

(3)

(2)の結果より、求める無限級数の一般項は、

$$\frac{1}{b_n} = \frac{6}{n(n+1)(n+2)}$$

となる。分母が3つの連続する自然数の積であるため、次のように部分分数分解を行う。

$$\begin{aligned} \frac{1}{b_n} &= \frac{6}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \\ &= 3 \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \end{aligned}$$

第 $m$ 部分和を $S_m$ とすると、

$$\begin{aligned} S_m &= \sum_{n=1}^m \frac{1}{b_n} \\ &= 3 \sum_{n=1}^m \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) \\ &= 3 \left\{ \left( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3 \cdot 4} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{m(m+1)} - \frac{1}{(m+1)(m+2)} \right) \right\} \\ &= 3 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(m+1)(m+2)} \right) \end{aligned}$$

ここで、$m \to \infty$ のとき $\frac{1}{(m+1)(m+2)} \to 0$ となる。

したがって、求める無限級数の和は、

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{b_n} &= \lim_{m \to \infty} S_m \\ &= \lim_{m \to \infty} 3 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{(m+1)(m+2)} \right) \\ &= 3 \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}$$

解説

逆数をとる漸化式、シグマ計算、部分分数分解を用いた無限級数といった、数列における頻出テーマが融合された標準的な問題である。

(1)では、漸化式の逆数をとる前に分母が $0$ にならないこと（$a_n > 0$）を言及しておく必要がある。

(2)のシグマ計算では、シグマの変数 $k$ に無関係な文字 $n$ をシグマの前にくくり出す処理を正確に行うこと。

(3)の部分分数分解では、$\frac{1}{k(k+1)\cdots(k+p)} = \frac{1}{p} \left( \frac{1}{k(k+1)\cdots(k+p-1)} - \frac{1}{(k+1)\cdots(k+p)} \right)$ という公式を利用するとスムーズに計算できる。