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数学3 無限級数問題 16 解説

方針・初手

一般項の分母が自然数の和となっていることに着目する。これを計算した上で部分分数分解を行い、途中項が相殺される形を作ることで和 $a_n$ を求める。その後、$n \to \infty$ の極限をとる。

解法1

$a_n$ の和を構成する第 $k$ 項（$k=1, 2, \dots, n$）を $b_k$ とおくと、

$$b_k = \frac{1}{1+2+3+\dots+k}$$

である。分母は $1$ から $k$ までの自然数の和であるから、

$$1+2+3+\dots+k = \frac{1}{2}k(k+1)$$

となる。したがって、$b_k$ は次のように変形できる。

$$b_k = \frac{2}{k(k+1)} = 2 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$$

よって、$a_n$ は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} a_n &= \sum_{k=1}^n b_k \\ &= \sum_{k=1}^n 2 \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \\ &= 2 \left\{ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right\} \\ &= 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \end{aligned}$$

求める極限は、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) = 2$$

となる。

解説

数列の和の極限を求める基本的な問題である。各項の分母が自然数の和となっていることに気づき、シグマ計算の定石である部分分数分解に持ち込むことが最大のポイントである。$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ という変形は極めて頻出であるため、確実に定着させておきたい。