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数学3 無限級数問題 18 解説

方針・初手

放物線 $y = x^2$ 上の点 $\mathrm{A}_k, \mathrm{A}_{k+1}, \mathrm{A}_{k+2}$ の $x$ 座標をそれぞれ $a_k, a_{k+1}, a_{k+2}$ とおく。条件である「$\mathrm{A}_{k+2}$ における $C$ の接線が直線 $\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ に平行」から、$a_k, a_{k+1}, a_{k+2}$ の間に成り立つ関係式を導出する。その後、三角形の面積 $T_k$ を $a_k, a_{k+1}$ を用いて表し、面積の比や無限等比級数の和を計算していく。

解法1

$f(x) = x^2$ とおくと、$f'(x) = 2x$ である。点 $\mathrm{A}_{k+2}(a_{k+2}, a_{k+2}^2)$ における接線の傾きは $2a_{k+2}$ である。

一方、直線 $\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}$ の傾きは

$$\frac{a_{k+1}^2 - a_k^2}{a_{k+1} - a_k} = a_{k+1} + a_k$$

である。条件よりこれらが等しいから、

$$2a_{k+2} = a_{k+1} + a_k$$

$$a_{k+2} = \frac{a_{k+1} + a_k}{2}$$

が成り立つ。これより、

$$a_{k+2} - a_{k+1} = -\frac{1}{2}(a_{k+1} - a_k)$$

を得る。数列 $\{a_{k+1} - a_k\}$ は公比 $-\frac{1}{2}$ の等比数列である。

(1)

点 $\mathrm{A}_k(a_k, a_k^2), \mathrm{A}_{k+1}(a_{k+1}, a_{k+1}^2), \mathrm{A}_{k+2}(a_{k+2}, a_{k+2}^2)$ を頂点とする三角形の面積 $T_k$ を求める。頂点 $\mathrm{A}_k$ を原点に平行移動したベクトルを考えると、

$$\overrightarrow{\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+1}} = (a_{k+1} - a_k, a_{k+1}^2 - a_k^2)$$

$$\overrightarrow{\mathrm{A}_k\mathrm{A}_{k+2}} = (a_{k+2} - a_k, a_{k+2}^2 - a_k^2)$$

したがって、面積 $T_k$ は

$$T_k = \frac{1}{2} |(a_{k+1} - a_k)(a_{k+2}^2 - a_k^2) - (a_{k+2} - a_k)(a_{k+1}^2 - a_k^2)|$$

となる。絶対値の中身を変形すると、

$$(a_{k+1} - a_k)(a_{k+2} - a_k)(a_{k+2} + a_k) - (a_{k+2} - a_k)(a_{k+1} - a_k)(a_{k+1} + a_k)$$

$$= (a_{k+1} - a_k)(a_{k+2} - a_k) \{ (a_{k+2} + a_k) - (a_{k+1} + a_k) \}$$

$$= (a_{k+1} - a_k)(a_{k+2} - a_k)(a_{k+2} - a_{k+1})$$

となる。ここで、$a_{k+2} = \frac{a_{k+1} + a_k}{2}$ を代入すると、

$$a_{k+2} - a_k = \frac{a_{k+1} + a_k}{2} - a_k = \frac{a_{k+1} - a_k}{2}$$

$$a_{k+2} - a_{k+1} = \frac{a_{k+1} + a_k}{2} - a_{k+1} = -\frac{a_{k+1} - a_k}{2}$$

であるから、

$$T_k = \frac{1}{2} \left| (a_{k+1} - a_k) \cdot \frac{a_{k+1} - a_k}{2} \cdot \left( -\frac{a_{k+1} - a_k}{2} \right) \right|$$

$$T_k = \frac{1}{8} |a_{k+1} - a_k|^3$$

となる。同様に、$T_{k+1}$ は添字を $1$ つ増やして、

$$T_{k+1} = \frac{1}{8} |a_{k+2} - a_{k+1}|^3$$

となる。ここで $a_{k+2} - a_{k+1} = -\frac{1}{2}(a_{k+1} - a_k)$ を用いると、

$$T_{k+1} = \frac{1}{8} \left| -\frac{1}{2}(a_{k+1} - a_k) \right|^3$$

$$= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{8} |a_{k+1} - a_k|^3 = \frac{1}{8} T_k$$

したがって、

$$\frac{T_{k+1}}{T_k} = \frac{1}{8}$$

である。

(2)

直線 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ の方程式は、傾きが $a_1+a_2$ であることから、

$$y - a_1^2 = (a_1+a_2)(x - a_1)$$

$$y = (a_1+a_2)x - a_1 a_2$$

となる。放物線 $C$ と直線 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ で囲まれた部分の面積 $S$ は、$a_1 < a_2$ より、放物線が直線の下側にあるため、

$$S = \int_{a_1}^{a_2} \{ (a_1+a_2)x - a_1 a_2 - x^2 \} dx$$

$$= -\int_{a_1}^{a_2} (x - a_1)(x - a_2) dx$$

$$= \frac{1}{6} (a_2 - a_1)^3$$

となる。

一方、(1) で求めた $T_k$ の式で $k=1$ とすると、

$$T_1 = \frac{1}{8} |a_2 - a_1|^3$$

となるが、$a_1 < a_2$ より $a_2 - a_1 > 0$ であるから、絶対値記号を外して

$$T_1 = \frac{1}{8} (a_2 - a_1)^3$$

である。これより、$T_1$ を $S$ を用いて表すと、

$$T_1 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{6} (a_2 - a_1)^3 = \frac{3}{4} S$$

となる。

(1) の結果より、数列 $\{T_k\}$ は初項 $\frac{3}{4}S$、公比 $\frac{1}{8}$ の等比数列である。したがって、初項から第 $n$ 項までの和は、

$$\sum_{k=1}^n T_k = \frac{\frac{3}{4}S \left\{ 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^n \right\}}{1 - \frac{1}{8}}$$

$$= \frac{6}{7} S \left\{ 1 - \left(\frac{1}{8}\right)^n \right\}$$

となる。ここで $n \to \infty$ とすると $\left(\frac{1}{8}\right)^n \to 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n T_k = \frac{6}{7} S$$

となる。

解説

放物線上の点における「接線が平行」という条件から、交点の $x$ 座標が等差数列の性質（中点になる性質）を持つことを導く典型問題である。一般に、放物線 $y=x^2$ 上の2点 $\mathrm{A}(\alpha, \alpha^2), \mathrm{B}(\beta, \beta^2)$ に対して、$\mathrm{AB}$ と平行な接線を持つ放物線上の点の $x$ 座標は中点の $\frac{\alpha+\beta}{2}$ となる。さらに、その3点で構成される三角形の面積は、弦 $\mathrm{AB}$ と放物線で囲まれる面積（いわゆる $\frac{1}{6}$ 公式で求まる面積）の $\frac{3}{4}$ 倍になるという有名な事実（アルキメデスの定理）が背景にある。この性質を知識として持っていなくても、三角形の面積の公式や定積分の計算で素直に導けるため、誘導に乗って一つずつ計算を進めれば完答できる。