数学3 無限級数 問題 19 解説

方針・初手

与えられた級数の一般項を観察し、どのような数列の和であるかを見極める。式を変形すると、この級数が無限等比級数であることがわかる。最終的に和を $\tan \theta$ を用いて表すことが要求されているため、早い段階で式を $\tan \theta$ で表しておくと計算がスムーズになる。無限等比級数の収束条件と和の公式を適用して解を進める。

解法1

与えられた級数は、

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^n \theta}{\sin^n \theta} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\tan \theta} \right)^n$$

と変形できる。これは、初項 $\frac{1}{\tan \theta}$、公比 $\frac{1}{\tan \theta}$ の無限等比級数である。

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\tan \theta > 0$ であるため、公比は常に正である。

この無限等比級数が収束する条件は、公比の絶対値が $1$ より小さいことであるから、

$$\left| \frac{1}{\tan \theta} \right| < 1$$

公比が正であることより、

$$\frac{1}{\tan \theta} < 1$$

$\tan \theta > 0$ であるから、両辺に $\tan \theta$ を掛けて、

$$\tan \theta > 1$$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、これを満たす $\theta$ の範囲は、

$$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$$

となる。これが級数が収束する $\theta$ の範囲である。

次に、このときの級数の和を求める。無限等比級数の和の公式より、

$$\frac{\frac{1}{\tan \theta}}{1 - \frac{1}{\tan \theta}}$$

分母と分子に $\tan \theta$ を掛けて整理すると、

$$\frac{1}{\tan \theta - 1}$$

となる。

解説

無限等比級数の基本的な問題である。与えられた式が無限等比級数であることを認識し、収束条件 $|r| < 1$ と和の公式 $\frac{a}{1-r}$ を正確に適用すればよい。解答で示したように、問題の後半で和を $\tan\theta$ で表すことが指定されているため、最初に $\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$ と書き換えてから処理を行うと、見通しよく計算を進めることができる。

答え

② $\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$

③ $\frac{1}{\tan \theta - 1}$