数学3 無限級数 問題 21 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ は無限等比級数の和で定義されている。まずはこの級数の初項と公比を確認し、和の公式を用いて $f(x)$ を簡単な式で表す。無限等比級数の和を考える際、初項が $0$ になる場合（$x=0$ のとき）は公比に関わらず和が $0$ となるため、場合分けを行う必要がある。

解法1

関数 $f(x)$ を定める級数は、初項 $x^2$、公比 $\frac{1}{1+2x^2}$ の無限等比級数である。

(i) $x = 0$ のとき 初項が $0$ となり、すべての項が $0$ となるため、級数の和は

$$f(0) = 0$$

である。

(ii) $x \neq 0$ のとき $x^2 > 0$ であるから、$1+2x^2 > 1$ となる。 したがって、公比について $0 < \frac{1}{1+2x^2} < 1$ が成り立ち、この無限等比級数は収束する。 その和 $f(x)$ は、

$$f(x) = \frac{x^2}{1 - \frac{1}{1+2x^2}}$$

$$f(x) = \frac{x^2}{\frac{1+2x^2 - 1}{1+2x^2}}$$

$$f(x) = \frac{x^2(1+2x^2)}{2x^2}$$

$$f(x) = \frac{1+2x^2}{2} = \frac{1}{2} + x^2$$

となる。

(i)、(ii) より、関数 $f(x)$ は次のように表される。

$$f(x) = \begin{cases} 0 & (x = 0) \\ \frac{1}{2} + x^2 & (x \neq 0) \end{cases}$$

求めるのは $\lim_{x \to 0} f(x)$ の値である。 極限 $x \to 0$ を考える際、$x \neq 0$ の値をとりながら $x$ を $0$ に近づけるため、極限計算に用いる式は $f(x) = \frac{1}{2} + x^2$ である。

$$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} + x^2 \right) = \frac{1}{2}$$

解説

無限等比級数で定義された関数の問題では、初項が $0$ になるケースと、公比 $r$ が $-1 < r < 1$ を満たすかどうかの確認が必須である。本問において $x=0$ をそのまま和の公式 $\frac{a}{1-r}$ に代入すると、分母が $0$ となり計算できないため、必ず場合分けをして処理する。

極限 $\lim_{x \to a} f(x)$ は、「$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくときの $f(x)$ の目標値」を意味する。したがって、関数の値 $f(0) = 0$ に引きずられて極限値を $0$ と答えないよう注意すること。この関数 $f(x)$ は $\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$ であり、$x=0$ において不連続な関数となっている。

答え

$\frac{1}{2}$