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数学3 無限級数問題 22 解説

方針・初手

点 $\mathrm{A}_n$ と $\mathrm{B}_n$ の座標をそれぞれ $a_n, b_n$ を用いて表し、問題文で与えられた角度の条件から数列 $\{a_n\}, \{b_n\}$ の漸化式を立てる。原点 $\mathrm{O}$ を直角の頂点とする直角三角形に着目し、三角比を用いて辺の長さの関係を式にすることが第一歩となる。その後は等比数列の一般項、無限等比級数の収束条件と和の公式を適用して解を進めていく。

解法1

点 $\mathrm{A}_n$ の $y$ 座標を $a_n$、点 $\mathrm{B}_n$ の $x$ 座標を $b_n$ とおく。条件 (1), (2) より、$a_n > 0, b_n > 0$ である。また、条件 (1) より $a_1 = 1$ である。

直角三角形 $\mathrm{OA}_n\mathrm{B}_n$ において $\angle \mathrm{OA}_n\mathrm{B}_n = \theta$ であるから、

$$\frac{\mathrm{OB}_n}{\mathrm{OA}_n} = \tan \theta$$

すなわち、

$$\frac{b_n}{a_n} = \tan \theta \iff b_n = a_n \tan \theta \quad \cdots \text{(A)}$$

が成り立つ。同様に、直角三角形 $\mathrm{OB}_n\mathrm{A}_{n+1}$ において $\angle \mathrm{OB}_n\mathrm{A}_{n+1} = \theta$ であるから、

$$\frac{\mathrm{OA}_{n+1}}{\mathrm{OB}_n} = \tan \theta$$

すなわち、

$$\frac{a_{n+1}}{b_n} = \tan \theta \iff a_{n+1} = b_n \tan \theta \quad \cdots \text{(B)}$$

が成り立つ。式 (A) を式 (B) に代入すると、

$$a_{n+1} = (a_n \tan \theta) \tan \theta = a_n \tan^2 \theta$$

となる。これにより、数列 $\{a_n\}$ は初項 $a_1 = 1$、公比 $\tan^2 \theta$ の等比数列であることがわかる。したがって、その一般項は、

$$a_n = 1 \cdot (\tan^2 \theta)^{n-1} = \tan^{2n-2} \theta$$

となる。これが点 $\mathrm{A}_n$ の $y$ 座標 [③] である。また、式 (A) より、

$$b_n = \tan^{2n-2} \theta \cdot \tan \theta = \tan^{2n-1} \theta$$

となる。これが点 $\mathrm{B}_n$ の $x$ 座標 [④] である。

ここで $n=4$ を代入すると、$\mathrm{A}_4$ の $y$ 座標は $\tan^{2 \cdot 4 - 2} \theta = \tan^6 \theta$ [①] となり、$\mathrm{B}_4$ の $x$ 座標は $\tan^{2 \cdot 4 - 1} \theta = \tan^7 \theta$ [②] となる。

次に、線分 $\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n$ の長さ $l_n$ を求める。直角三角形 $\mathrm{OA}_n\mathrm{B}_n$ において、

$$\cos \theta = \frac{\mathrm{OA}_n}{\mathrm{A}_n\mathrm{B}_n} = \frac{a_n}{l_n}$$

であるから、

$$l_n = \frac{a_n}{\cos \theta} = \frac{\tan^{2n-2} \theta}{\cos \theta}$$

となる。したがって、分子に入る式は $\tan^{2n-2} \theta$ [⑤] である。

級数 $\sum_{n=1}^\infty l_n$ は、

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\cos \theta} (\tan^2 \theta)^{n-1}$$

となり、これは初項 $\frac{1}{\cos \theta}$、公比 $\tan^2 \theta$ の無限等比級数である。この級数が収束するための条件は、初項が $0$ ではないため、

$$-1 < \tan^2 \theta < 1$$

である。$\tan^2 \theta \geqq 0$ であるから、$0 \leqq \tan^2 \theta < 1$、すなわち $-1 < \tan \theta < 1$ となる。問題の条件より $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ であるため $\tan \theta > 0$ であり、

$$0 < \tan \theta < 1$$

となる。これを満たす $\theta$ の範囲は、

$$0 < \theta < \frac{\pi}{4}$$

であり、これが [⑥] である。

このとき、無限等比級数の和の公式により、その和は

$$\frac{\frac{1}{\cos \theta}}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{1}{\cos \theta \left(1 - \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}\right)}$$

分母分子に $\cos^2 \theta$ を掛けて整理すると、

$$= \frac{\cos \theta}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}$$

となる。分母に2倍角の公式 $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ を用いると、

$$= \frac{\cos \theta}{\cos 2\theta}$$

となる。したがって、分子に入る式は $\cos \theta$ [⑦] である。

解説

図形的な規則性を漸化式に落とし込む典型的な問題である。直角三角形の辺の比を三角関数を用いて表すことで、等比数列が導かれる。後半は無限等比級数の収束条件と、三角関数の相互関係や2倍角の公式を用いた式変形が問われている。和の計算において、分母分子に $\cos^2 \theta$ を掛けて分数を整理する処理は頻出であるため、正確に実行できるようにしておきたい。