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数学3 無限級数問題 23 解説

方針・初手

円に内接する正多角形と、その正多角形に内接する円が交互に現れる図形の問題である。円の中心と正多角形の頂点を結ぶことでできる直角三角形に着目し、三角比を用いて辺の長さと内接円の半径を求めるのが初手となる。図形はすべて相似であり、内接円の半径の比を求めることで、数列の公比を導くことができる。極限計算では、微小角に対する正弦の極限公式を利用する。

解法1

(1)

$k=3$のとき、$P_1$は半径1の円$C_0$に内接する正三角形である。$P_1$を3つの合同な二等辺三角形に分割して考えると、中心角は$\frac{2\pi}{3}$である。頂点から対辺に垂線を下ろして直角三角形を作ると、

$$\frac{a_1}{2} = 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

よって、$a_1 = \sqrt{3}$である。面積$S_1$は、

$$S_1 = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

である。

$k=6$のとき、$P_1$は半径1の円$C_0$に内接する正六角形である。同様に中心角は$\frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$であり、分割された三角形は正三角形となるため、

$$a_1 = 1$$

である。面積$S_1$は、

$$S_1 = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$

である。

(2)

一般の自然数$n$について考える。円$C_{n-1}$の半径を$R_{n-1}$とする。 $P_n$は$C_{n-1}$に内接する正$k$角形であり、中心角は$\frac{2\pi}{k}$である。$P_n$の1辺の長さ$a_n$は、

$$a_n = 2R_{n-1}\sin\left(\frac{\pi}{k}\right)$$

である。

また、$P_n$に内接する円$C_n$の半径$R_n$は、中心から$P_n$の辺に下ろした垂線の長さであるから、

$$R_n = R_{n-1}\cos\left(\frac{\pi}{k}\right)$$

である。

したがって、$a_{n+1}$は次のように計算できる。

$$a_{n+1} = 2R_n\sin\left(\frac{\pi}{k}\right) = 2R_{n-1}\cos\left(\frac{\pi}{k}\right)\sin\left(\frac{\pi}{k}\right) = a_n \cos\left(\frac{\pi}{k}\right)$$

これより、$a_n : a_{n+1} = 1 : \cos\left(\frac{\pi}{k}\right)$である。

また、$P_{n+1}$は$P_n$を$\cos\left(\frac{\pi}{k}\right)$倍に縮小した図形であるから、面積の比はその2乗の$\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)$倍となる。すなわち、数列${S_n}$は初項$S_1$、公比$\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)$の等比数列である。ここで、$R_0 = 1$より、

$$S_1 = k \cdot \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{k}\right) = k\sin\left(\frac{\pi}{k}\right)\cos\left(\frac{\pi}{k}\right)$$

である。 $k \ge 3$の自然数より、$0 < \frac{\pi}{k} \le \frac{\pi}{3}$であるから、$0 < \cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right) < 1$となり、無限等比級数$\sum_{n=1}^\infty S_n$は収束する。その和は、

$$\sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{S_1}{1-\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)} = \frac{k\sin\left(\frac{\pi}{k}\right)\cos\left(\frac{\pi}{k}\right)}{\sin^2\left(\frac{\pi}{k}\right)} = \frac{k}{\tan\left(\frac{\pi}{k}\right)}$$

となる。これが$k$と等しいとき、

$$\frac{k}{\tan\left(\frac{\pi}{k}\right)} = k$$

$k>0$であるから、$\tan\left(\frac{\pi}{k}\right) = 1$となる。 $0 < \frac{\pi}{k} \le \frac{\pi}{3}$を満たすのは$\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4}$のときであり、したがって$k=4$である。

(3)

数列${S_{2n-1} - S_{2n}}$の一般項を変形する。

$$S_{2n-1} - S_{2n} = S_{2n-1} - S_{2n-1}\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right) = S_{2n-1}\left(1-\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)\right)$$

数列${S_{2n-1}}$は、初項$S_1$、公比$\cos^4\left(\frac{\pi}{k}\right)$の等比数列である。 $0 < \cos^4\left(\frac{\pi}{k}\right) < 1$であるから、無限等比級数は収束し、

$$\sum_{n=1}^\infty S_{2n-1} = \frac{S_1}{1-\cos^4\left(\frac{\pi}{k}\right)}$$

となる。よって、求める和は、

$$\begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty (S_{2n-1} - S_{2n}) &= \left(1-\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)\right) \sum_{n=1}^\infty S_{2n-1} \\ &= \frac{S_1\left(1-\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)\right)}{1-\cos^4\left(\frac{\pi}{k}\right)} \\ &= \frac{S_1\left(1-\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)\right)}{\left(1-\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)\right)\left(1+\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)\right)} \\ &= \frac{1}{1+\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)} S_1 \end{aligned}$$

これより、求める係数は$\frac{1}{1+\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)}$である。

次に、極限$\lim_{k\to\infty} \frac{1}{1+\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)} S_1$を計算する。 $S_1 = \frac{k}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{k}\right)$であるから、

$$\frac{1}{1+\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)} S_1 = \frac{1}{1+\cos^2\left(\frac{\pi}{k}\right)} \cdot \frac{k}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{k}\right)$$

$\frac{\pi}{k} = \theta$とおくと、$k\to\infty$のとき$\theta\to +0$である。 $k = \frac{\pi}{\theta}$を代入して整理すると、

$$\begin{aligned} \frac{1}{1+\cos^2\theta} \cdot \frac{\pi}{2\theta}\sin(2\theta) &= \frac{\pi}{1+\cos^2\theta} \cdot \frac{\sin(2\theta)}{2\theta} \end{aligned}$$

$\theta\to +0$のとき、$\cos^2\theta \to 1$、$\frac{\sin(2\theta)}{2\theta} \to 1$となるため、

$$\lim_{\theta\to +0} \frac{\pi}{1+\cos^2\theta} \cdot \frac{\sin(2\theta)}{2\theta} = \frac{\pi}{1+1} \cdot 1 = \frac{\pi}{2}$$

となる。

解説

図形の反復操作によって作られる数列の問題である。図形の相似性に気づけば、毎回図形全体の面積を計算し直す必要はなく、相似比から面積比（公比）を導くことができる。(2)での内接円の半径の比が相似比に等しいという事実が、この問題の核心である。極限の計算においては、$x \to 0$における$\frac{\sin x}{x} \to 1$の基本公式に帰着させるため、$\frac{\pi}{k}$を新たな変数で置換する処理が定番かつ有効である。