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数学3 無限級数問題 27 解説

方針・初手

問題の指示に従い、線分の内分点と中点の座標を順に計算して漸化式を立てる。数列の一般項を求めたのち、無限等比級数の和の公式を用いて最後の方程式を解く。

解法1

原点 $(0,0)$ と点 $(a_0, 0)$ を $2:1$ に内分する点の $x$ 座標は、

$$\frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a_0}{2+1} = \frac{2}{3}a_0$$

である。この点と点 $(1,0)$ の中点が $P_1(a_1, 0)$ であるから、

$$a_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3}a_0 + 1 \right) = \frac{1}{3}a_0 + \frac{1}{2}$$

となる。これが①の答えである。

同様の操作を原点と点 $P_{n-1}(a_{n-1}, 0)$ に対して行うと、それらを $2:1$ に内分する点の $x$ 座標は $\frac{2}{3}a_{n-1}$ となる。これと点 $(1,0)$ の中点が $P_n(a_n, 0)$ であるから、

$$a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{3}a_{n-1} + 1 \right) = \frac{1}{3}a_{n-1} + \frac{1}{2}$$

となる。これが②、③の答えである。

この漸化式を変形すると、

$$a_n - \frac{3}{4} = \frac{1}{3} \left( a_{n-1} - \frac{3}{4} \right)$$

となる。したがって、数列 $\left\{ a_n - \frac{3}{4} \right\}$ は公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。この漸化式を繰り返し用いることで、$a_n$ を $a_1$ と $n$ を用いて表すと、

$$a_n - \frac{3}{4} = \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \left( a_1 - \frac{3}{4} \right)$$

$$a_n = \left( a_1 - \frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} + \frac{3}{4}$$

となる。これが④の答えである。

$a_0 = \frac{3}{4}$ のとき、$a_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ となり、以降すべての $n$ について $a_n = \frac{3}{4}$ となるため、$P_n$ は $n$ に無関係な定点となる。これが⑤の答えである。

$a_0 \neq \frac{3}{4}$ のとき、$0 < \frac{1}{3} < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = 0$ となる。ゆえに、

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{3}{4}$$

となるため、$P_n$ は点 $Q\left(\frac{3}{4}, 0\right)$ に限りなく近づく。これが⑥の答えである。

このとき、$P_n$ と $Q$ の距離 $P_n Q$ は、

$$P_n Q = \left| a_n - \frac{3}{4} \right| = \left| a_1 - \frac{3}{4} \right| \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}$$

となる。ここで、$a_1 - \frac{3}{4} = \left( \frac{1}{3}a_0 + \frac{1}{2} \right) - \frac{3}{4} = \frac{1}{3}a_0 - \frac{1}{4}$ であるから、

$$\sum_{n=1}^\infty P_n Q = \sum_{n=1}^\infty \left| \frac{1}{3}a_0 - \frac{1}{4} \right| \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}$$

となる。これは初項 $\left| \frac{1}{3}a_0 - \frac{1}{4} \right|$、公比 $\frac{1}{3}$ の無限等比級数である。公比の絶対値が $1$ より小さいため収束し、その和は、

$$\frac{\left| \frac{1}{3}a_0 - \frac{1}{4} \right|}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \left| \frac{1}{3}a_0 - \frac{1}{4} \right|$$

となる。これが $\frac{1}{3}$ と等しくなる条件は、

$$\frac{3}{2} \left| \frac{1}{3}a_0 - \frac{1}{4} \right| = \frac{1}{3}$$

$$\left| \frac{1}{3}a_0 - \frac{1}{4} \right| = \frac{2}{9}$$

$$\frac{1}{3}a_0 - \frac{1}{4} = \pm \frac{2}{9}$$

$$\frac{1}{3}a_0 = \frac{1}{4} \pm \frac{2}{9} = \frac{9 \pm 8}{36}$$

これより、$a_0 = \frac{17}{12}, \frac{1}{12}$ を得る。問題の条件より $0 < a_0 < 1$ であるから、

$$a_0 = \frac{1}{12}$$

となる。これが⑦の答えである。

解説

図形的な操作（内分や中点）を座標計算に落とし込み、数列の漸化式を導出する典型問題である。④において、一般項を $a_0$ ではなく $a_1$ を用いて表す指示がある点に注意して式変形を行う必要がある。また、絶対値を含む無限等比級数の和の計算や、最後に $0 < a_0 < 1$ という初期条件を満たす解のみを選択する点など、細かい見落としがないように処理することが求められる。