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数学3 無限級数問題 32 解説

方針・初手

コッホ雪片（コッホ曲線）と呼ばれる有名なフラクタル図形に関する問題である。多角形 $D_n$ の「1辺の長さ」と「辺の数」が、$n$ が1増えるごとにどのように変化するかを把握し、数列として一般項を立式する。周の長さは「1辺の長さ $\times$ 辺の数」、面積は「$D_{n-1}$ の面積に、新たに追加される小さな正三角形の面積を足したもの」として計算する。

解法1

(1)

多角形 $D_n$ の辺の数を $N_n$、1辺の長さを $l_n$ とする。

$D_0$ は1辺の長さが $a$ の正三角形であるから、

$$N_0 = 3, \quad l_0 = a$$

である。

$D_{n-1}$ から $D_n$ を作るとき、1つの辺（長さ $l_{n-1}$）は、真ん中の3分の1が取り除かれ、代わりに同じ長さの2辺が付け加わることで、長さが $\frac{1}{3}l_{n-1}$ の4つの辺に置き換わる。したがって、辺の数と1辺の長さについて、次の関係が成り立つ。

$$N_n = 4 N_{n-1}$$

$$l_n = \frac{1}{3} l_{n-1}$$

これらはそれぞれ公比 $4$、$\frac{1}{3}$ の等比数列であるから、一般項は

$$N_n = 3 \cdot 4^n$$

$$l_n = a \left(\frac{1}{3}\right)^n$$

となる。

$D_n$ の周の長さ $L_n$ は、これらを用いて次のように求められる。

$$L_n = N_n l_n = 3 \cdot 4^n \cdot a \left(\frac{1}{3}\right)^n = 3a \left(\frac{4}{3}\right)^n$$

(2)

$D_n$ の面積 $S_n$ は、$D_{n-1}$ の面積 $S_{n-1}$ に、新たに作られる小さな正三角形の面積を加えたものである。

$D_{n-1}$ から $D_n$ を作るとき、新たに追加される正三角形の1辺の長さは $l_n$ であり、作られる個数は $D_{n-1}$ の辺の数 $N_{n-1}$ に等しい。 1辺の長さが $l_n$ の正三角形の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4} l_n^2$ であるから、次が成り立つ。

$$S_n = S_{n-1} + N_{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} l_n^2$$

ここで、第2項を計算する。

$$\begin{aligned} N_{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} l_n^2 &= 3 \cdot 4^{n-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \left\{ a \left(\frac{1}{3}\right)^n \right\}^2 \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot 4^{n-1} \cdot \frac{1}{9^n} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{4} a^2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{4}{9}\right)^n \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{16} a^2 \left(\frac{4}{9}\right)^n \end{aligned}$$

$n \geqq 1$ のとき、$S_n$ は次のように求められる。$S_0$ は1辺 $a$ の正三角形の面積なので $S_0 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ である。

$$\begin{aligned} S_n &= S_0 + \sum_{k=1}^n \left( S_k - S_{k-1} \right) \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \sum_{k=1}^n \frac{3\sqrt{3}}{16} a^2 \left(\frac{4}{9}\right)^k \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}}{16} a^2 \cdot \frac{\frac{4}{9} \left\{ 1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n \right\}}{1 - \frac{4}{9}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}}{16} a^2 \cdot \frac{\frac{4}{9}}{\frac{5}{9}} \left\{ 1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n \right\} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}}{16} a^2 \cdot \frac{4}{5} \left\{ 1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n \right\} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 + \frac{3\sqrt{3}}{20} a^2 \left\{ 1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n \right\} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \left[ 1 + \frac{3}{5} \left\{ 1 - \left(\frac{4}{9}\right)^n \right\} \right] \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \left\{ \frac{8}{5} - \frac{3}{5} \left(\frac{4}{9}\right)^n \right\} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{20} a^2 \left\{ 8 - 3 \left(\frac{4}{9}\right)^n \right\} \end{aligned}$$

この式は $n=0$ のときも $S_0 = \frac{\sqrt{3}}{20} a^2 (8-3) = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ となり成り立つ。

(3)

(2) の結果において $n \to \infty$ の極限をとる。 $0 < \frac{4}{9} < 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n = 0$$

である。したがって、

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} S_n &= \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3}}{20} a^2 \left\{ 8 - 3 \left(\frac{4}{9}\right)^n \right\} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{20} a^2 \cdot 8 \\ &= \frac{2\sqrt{3}}{5} a^2 \end{aligned}$$

となる。

解説

いわゆる「コッホ雪片」を題材にした、図形の漸化式と極限の典型問題である。 $D_n$ 全体を一度に捉えるのではなく、辺の数と1辺の長さを別々に漸化式として立てることが確実な解法である。(2) の面積の計算では、増える面積が「1つの小さな正三角形の面積」と「追加される個数」の積で表されることに注意する。計算量も適度であり、等比数列の和を正確に処理できるかが問われている。極限をとると、周の長さは無限大に発散するが、面積は有限の値に収束するというフラクタル図形特有の興味深い性質が確認できる。