数学3 極限 問題 6 解説

方針・初手

$n$ 乗の和の $\frac{1}{n}$ 乗の極限を求める問題である。この形式の極限では、カッコ内の項のうち「底が最も大きいもの」に着目し、不等式を作って「はさみうちの原理」を用いるか、底が最大の項で全体をくくり出すのが定石である。本問では $a > 0$ という条件が与えられているため、常に $a < 1+a$ が成り立ち、大小関係による場合分けは不要である。

解法1

$a > 0$ より $a^n > 0$ であるから、

$$(1+a)^n < a^n + (1+a)^n$$

が成り立つ。また、$a < 1+a$ より $a^n < (1+a)^n$ であるから、

$$a^n + (1+a)^n < (1+a)^n + (1+a)^n = 2(1+a)^n$$

が成り立つ。これらより、次の不等式を得る。

$$(1+a)^n < a^n + (1+a)^n < 2(1+a)^n$$

ここで、各項は正であるから、各辺の $\frac{1}{n}$ 乗をとると、大小関係は保存されて

$$1+a < \{a^n + (1+a)^n\}^{\frac{1}{n}} < 2^{\frac{1}{n}}(1+a)$$

となる。ここで、$n \to \infty$ のとき極限は

$$\lim_{n \to \infty} 2^{\frac{1}{n}} = 2^0 = 1$$

となるため、右辺の極限は

$$\lim_{n \to \infty} 2^{\frac{1}{n}}(1+a) = 1+a$$

である。したがって、はさみうちの原理より

$$\lim_{n \to \infty} \{a^n + (1+a)^n\}^{\frac{1}{n}} = 1+a$$

解法2

与式のカッコ内において、底が最大である $1+a$ で全体をくくって変形する。

$$\{a^n + (1+a)^n\}^{\frac{1}{n}} = \left[ (1+a)^n \left\{ \left(\frac{a}{1+a}\right)^n + 1 \right\} \right]^{\frac{1}{n}}$$

$$= (1+a) \left\{ \left(\frac{a}{1+a}\right)^n + 1 \right\}^{\frac{1}{n}}$$

ここで、

$$y_n = \left\{ \left(\frac{a}{1+a}\right)^n + 1 \right\}^{\frac{1}{n}}$$

とおき、両辺の自然対数をとると、

$$\log y_n = \frac{1}{n} \log \left\{ \left(\frac{a}{1+a}\right)^n + 1 \right\}$$

となる。$a > 0$ より $0 < \frac{a}{1+a} < 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{a}{1+a}\right)^n = 0$$

である。したがって、

$$\lim_{n \to \infty} \log \left\{ \left(\frac{a}{1+a}\right)^n + 1 \right\} = \log (0 + 1) = 0$$

となる。また、$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ であるため、

$$\lim_{n \to \infty} \log y_n = 0 \cdot 0 = 0$$

すなわち、

$$\lim_{n \to \infty} y_n = e^0 = 1$$

となる。以上より、

$$\lim_{n \to \infty} \{a^n + (1+a)^n\}^{\frac{1}{n}} = (1+a) \lim_{n \to \infty} y_n = 1+a$$

解説

$\lim_{n \to \infty} (A^n + B^n)^{\frac{1}{n}}$ の形をした極限は、頻出のテーマである。解法1のように不等式で評価し、はさみうちの原理に持ち込むのが最も簡明でミスが少ない。解法2のように最大項でくくり出す手法も同様に重要であり、関数における極限などを考える際にも応用が利く発想である。本問は $a > 0$ によって底の大小が自明であるが、もし $a$ の範囲が指定されていなければ、$a < 1+a$ に加え、絶対値の大小を考慮した丁寧な場合分けが必要になる。

答え

$$1+a$$