数学3 極限 問題 7 解説

方針・初手

$x \to 0$ のとき、$f(\sin x) \to f(0) = 0$、$\sin f(x) \to \sin 0 = 0$ となるため、求める極限は $\frac{0}{0}$ の不定形である。 三角関数の極限の基本公式 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を活用できるように、分子と分母の式を適切に分割し、極限が求められる形に変形する。

解法1

与えられた関数は $f(x) = x^3 + 2x$ である。 求める極限の式を、極限値が既知の形になるように変形する。

$$\frac{f(\sin x)}{\sin f(x)} = \frac{f(\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{\sin f(x)}$$

ここで、右辺の各因数の $x \to 0$ における極限をそれぞれ考える。

まず、第1の因数について考える。$t = \sin x$ とおくと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)}{\sin x} = \lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^3 + 2t}{t} = \lim_{t \to 0} (t^2 + 2) = 2$$

次に、第2の因数について、三角関数の極限の公式より、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

次に、第3の因数について、

$$\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^3 + 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 + 2} = \frac{1}{2}$$

最後に、第4の因数について考える。$u = f(x)$ とおくと、$x \to 0$ のとき $u \to 0$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin f(x)} = \lim_{u \to 0} \frac{u}{\sin u} = 1$$

したがって、求める極限はこれらの収束する極限値の積として計算できる。

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)}{\sin f(x)} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = 1$$

解法2

関数 $f(x)$ の式を直接代入して変形を行う。

$$\frac{f(\sin x)}{\sin f(x)} = \frac{\sin^3 x + 2\sin x}{\sin (x^3 + 2x)} = \frac{\sin x (\sin^2 x + 2)}{\sin (x(x^2 + 2))}$$

この式を $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ が使えるように変形する。

$$\frac{\sin x (\sin^2 x + 2)}{\sin (x(x^2 + 2))} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{x(x^2 + 2)}{\sin (x(x^2 + 2))} \cdot \frac{\sin^2 x + 2}{x^2 + 2}$$

ここで、$x \to 0$ とすると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

また、$x \to 0$ のとき $x(x^2 + 2) \to 0$ であるから、

$$\lim_{x \to 0} \frac{x(x^2 + 2)}{\sin (x(x^2 + 2))} = 1$$

残りの部分の極限は、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + 2}{x^2 + 2} = \frac{0 + 2}{0 + 2} = 1$$

以上より、求める極限値は、

$$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin x)}{\sin f(x)} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$$

解説

合成関数が含まれる複雑な極限の計算問題である。 そのまま $x \to 0$ を考えると $\frac{0}{0}$ の不定形となるため、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ の形を作り出すことが定石となる。 解法1のように、極限が有限確定値になるように数式を意味のある塊ごとに細かく分割して処理すると、計算ミスを防ぎやすく、記述も論理的になる。解法2のように先に式を代入して全体から必要な形を括りだす方法でも問題ない。

答え

1