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数学3 極限問題 9 解説

注意画像の一部が不鮮明で、特に「極限の記号の下部」の読取りに不確実性があります。以下は式の構造と変数から「$\lim_{x \to \pi}$」として解釈した場合の解答解説です。

方針・初手

極限値が有限確定値を持ち、かつ分母が $0$ に収束することから、分子も $0$ に収束する必要があることを利用して定数 $a, b$ の関係式を導く。その後、求めた関係式を元の極限の式に代入し、分子の有理化と変数の置き換え（$t = x-\pi$）を行うことで極限値を計算し、条件を満たす定数を決定する。

解法1

$x \to \pi$ のとき、分母 $(x-\pi)^2 \to 0$ である。

極限値が有限確定値 $\frac{1}{4}$ を持つためには、分子も $0$ に収束しなければならない。すなわち、

$$\lim_{x \to \pi} \left( \sqrt{a+\cos x} - b \right) = 0$$

が必要である。

$x \to \pi$ のとき、$\cos x \to -1$ より $\sqrt{a+\cos x} \to \sqrt{a-1}$ であるから、

$$\sqrt{a-1} - b = 0$$

これが実数として成り立つためには、$a-1 \geqq 0$ かつ $b \geqq 0$ であり、

$$b = \sqrt{a-1}$$

となる。

このとき、与えられた極限の式は次のように変形できる。

$$\lim_{x \to \pi} \frac{\sqrt{a+\cos x} - \sqrt{a-1}}{(x-\pi)^2}$$

分子の有理化を行うと、

$$\lim_{x \to \pi} \frac{(a+\cos x) - (a-1)}{(x-\pi)^2 \left( \sqrt{a+\cos x} + \sqrt{a-1} \right)}$$

$$= \lim_{x \to \pi} \frac{1+\cos x}{(x-\pi)^2 \left( \sqrt{a+\cos x} + \sqrt{a-1} \right)}$$

ここで、$t = x-\pi$ とおくと、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$ である。

また、$\cos x = \cos(t+\pi) = -\cos t$ となるため、式は次のように書き換えられる。

$$\lim_{t \to 0} \frac{1-\cos t}{t^2 \left( \sqrt{a-\cos t} + \sqrt{a-1} \right)}$$

さらに $1-\cos t = \frac{(1-\cos t)(1+\cos t)}{1+\cos t} = \frac{1-\cos^2 t}{1+\cos t} = \frac{\sin^2 t}{1+\cos t}$ を用いて変形すると、

$$\lim_{t \to 0} \left( \frac{\sin t}{t} \right)^2 \cdot \frac{1}{(1+\cos t)\left( \sqrt{a-\cos t} + \sqrt{a-1} \right)}$$

$t \to 0$ のとき、$\frac{\sin t}{t} \to 1$、$\cos t \to 1$ であるから、極限値は

$$1^2 \cdot \frac{1}{(1+1)(\sqrt{a-1} + \sqrt{a-1})} = \frac{1}{4\sqrt{a-1}}$$

となる。

この極限値が $\frac{1}{4}$ に等しいから、

$$\frac{1}{4\sqrt{a-1}} = \frac{1}{4}$$

$$\sqrt{a-1} = 1$$

両辺を2乗して、

$$a-1 = 1$$

$$a = 2$$

これは $a \geqq 1$ を満たす。

またこのとき、$b = \sqrt{2-1} = 1$ となり、$b \geqq 0$ も満たす。

以上より、求める定数の値は $a=2, b=1$ である。

解説

関数の極限において「分母 $\to 0$ のとき、極限値が有限確定値を持つならば、分子 $\to 0$ である」という必要条件から未知数の関係式を導く典型的な問題である。

分子を $0$ にするという条件はあくまで極限が存在するための「必要条件」にすぎない。そのため、求めた関係式を元の式に代入し、極限を実際に計算して元の極限値に一致すること（十分性）を確認する手順を必ず踏む必要がある。

三角関数の極限においては、変数が $0$ に近づくように置き換え（本問では $t = x-\pi$）を行うことと、半角の公式や共役な式の掛け算により $\frac{1-\cos t}{t^2} \to \frac{1}{2} \ (t \to 0)$ という頻出の極限形を作り出すことがポイントとなる。