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数学3 極限問題 10 解説

方針・初手

(1) 直線 $l$ が入射光線と反射光線のなす角を二等分することに着目し、直線の傾きを正接（$\tan$）で表して加法定理を利用する。あるいは、光の反射の法則から方向ベクトルの対称移動を利用して求めることもできる。

(2) 半円 $C$ の中心 $(1,0)$ からの角度 $\theta$ を用いて点 $P$ をパラメータ表示し、弧 $OP$ の長さや点 $Q$ の座標を $\theta$ で表す。その後、$\theta \to +0$ としたときの各値の極限を順次計算していく。

解法1

(1)

直線 $l: x+2y=4$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。直線 $l$ を平行移動して原点を通るようにした直線 $y = -\frac{1}{2}x$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\alpha$ とすると、$\tan\alpha = -\frac{1}{2}$ である。

入射光線および反射光線をそれぞれ平行移動して原点を通るようにした直線 $y=mx$ および $y=nx$ が $x$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\theta_1, \theta_2$ とすると、$\tan\theta_1 = m, \tan\theta_2 = n$ である。

光の反射の法則より、直線 $y=mx$ と直線 $y=nx$ は直線 $y=-\frac{1}{2}x$ に対して対称である。したがって、角の関係は $\theta_1 + \theta_2 = 2\alpha + k\pi$（$k$ は整数）と表せる。両辺の正接をとると、

$$\tan(\theta_1 + \theta_2) = \tan(2\alpha + k\pi) = \tan 2\alpha$$

正接の加法定理と２倍角の公式より、

$$\frac{\tan\theta_1 + \tan\theta_2}{1 - \tan\theta_1 \tan\theta_2} = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$

各値を代入すると、

$$\frac{m + n}{1 - mn} = \frac{2 \left(-\frac{1}{2}\right)}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{-1}{1 - \frac{1}{4}} = -\frac{4}{3}$$

これを $n$ について解く。

$$\begin{aligned} 3(m + n) &= -4(1 - mn) \\ 3m + 3n &= -4 + 4mn \\ (4m - 3)n &= 3m + 4 \end{aligned}$$

$4m - 3 = 0$ すなわち $m = \frac{3}{4}$ と仮定すると、$0 = \frac{25}{4}$ となり矛盾するため、$4m - 3 \neq 0$ である。よって、

$$n = \frac{3m+4}{4m-3}$$

(2)

半円 $(x-1)^2+y^2=1 \ (y>0)$ は、中心 $C(1,0)$、半径 $1$ の上半円である。点 $P$ と $x$ 軸の正の向きとのなす中心角 $\angle OCP$ を $\theta \ (0 < \theta < \pi)$ とおく。このとき、点 $P$ の座標は $(1-\cos\theta, \sin\theta)$ である。

弧 $OP$ の長さは、半径 $1$、中心角 $\theta$ の弧であるから、$\widehat{OP} = 1 \cdot \theta = \theta$ である。点 $Q(t, 0) \ (t < 0)$ について、$OQ = -t$ である。条件 $OQ = 3\widehat{OP}$ より、

$$-t = 3\theta \quad \iff \quad t = -3\theta$$

よって、$Q(-3\theta, 0)$ となる。入射光線である直線 $QP$ の傾き $m$ は、

$$m = \frac{\sin\theta - 0}{1-\cos\theta - (-3\theta)} = \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta + 3\theta}$$

点 $P$ が原点 $O$ に限りなく近づくとき、$\theta \to +0$ である。このときの $m$ の極限を求める。分母分子を $\theta$ で割ると、

$$\lim_{\theta \to +0} m = \lim_{\theta \to +0} \frac{\frac{\sin\theta}{\theta}}{\frac{1-\cos\theta}{\theta} + 3}$$

ここで、

$$\lim_{\theta \to +0} \frac{1-\cos\theta}{\theta} = \lim_{\theta \to +0} \frac{1-\cos^2\theta}{\theta(1+\cos\theta)} = \lim_{\theta \to +0} \left( \frac{\sin\theta}{\theta} \cdot \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} \right) = 1 \cdot \frac{0}{2} = 0$$

であり、$\lim_{\theta \to +0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ であるから、

$$\lim_{\theta \to +0} m = \frac{1}{0 + 3} = \frac{1}{3}$$

また、(1) の結果より反射光線の傾き $n$ の極限は、

$$\lim_{\theta \to +0} n = \frac{3 \cdot \frac{1}{3} + 4}{4 \cdot \frac{1}{3} - 3} = \frac{5}{- \frac{5}{3}} = -3$$

次に、直線 $QP$ の方程式は $y = m(x+3\theta)$ であり、点 $H(x_H, y_H)$ はこれと直線 $l: x+2y=4$ との交点である。 $x_H + 2m(x_H+3\theta) = 4$ より、

$$x_H = \frac{4 - 6m\theta}{1+2m}$$

$\theta \to +0$ のとき、$m \to \frac{1}{3}$ であるから、

$$\lim_{\theta \to +0} x_H = \frac{4 - 0}{1 + 2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{5}{3}} = \frac{12}{5}$$

また、$y_H = m(x_H+3\theta)$ より、

$$\lim_{\theta \to +0} y_H = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{12}{5} + 0\right) = \frac{4}{5}$$

反射光線は点 $H$ を通り、傾き $n$ の直線であるから、その方程式は

$$y - y_H = n(x - x_H)$$

点 $R$ はこの直線と $x$ 軸との交点であるから、$y=0$ を代入して、

$$-y_H = n(x_R - x_H) \quad \iff \quad x_R = x_H - \frac{y_H}{n}$$

よって、点 $P$ が原点 $O$ に限りなく近づくときの点 $R$ の $x$ 座標の極限値は、

$$\lim_{\theta \to +0} x_R = \frac{12}{5} - \frac{\frac{4}{5}}{-3} = \frac{12}{5} + \frac{4}{15} = \frac{36 + 4}{15} = \frac{8}{3}$$

解法2

(1)

入射光線の傾きが $m$ であるから、その方向ベクトルの一つとして $\vec{u} = (1, m)$ をとることができる。直線 $l: x+2y=4$ の法線ベクトルは $\vec{n} = (1, 2)$ である。

光の反射の法則により、入射光線の方向ベクトル $\vec{u}$ を直線 $l$ に平行な直線に関して対称移動したベクトルは、反射光線の方向ベクトルと平行になる。ベクトル $\vec{u}$ の直線 $l$ に平行な直線に関する対称点（方向ベクトルの対称移動）$\vec{v}$ は、

$$\vec{v} = \vec{u} - 2\frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|^2}\vec{n}$$

により求められる。 $\vec{u} \cdot \vec{n} = 1\cdot 1 + m\cdot 2 = 2m+1$、$|\vec{n}|^2 = 1^2 + 2^2 = 5$ であるから、

$$\begin{aligned} \vec{v} &= (1, m) - \frac{2(2m+1)}{5}(1, 2) \\ &= \left( 1 - \frac{4m+2}{5}, m - \frac{8m+4}{5} \right) \\ &= \left( \frac{3-4m}{5}, \frac{-3m-4}{5} \right) \end{aligned}$$

反射光線の傾きは $n$ であるから、$\vec{v}$ の $x$ 成分が $0$ でない（すなわち $m \neq \frac{3}{4}$）とき、

$$n = \frac{\frac{-3m-4}{5}}{\frac{3-4m}{5}} = \frac{-3m-4}{3-4m} = \frac{3m+4}{4m-3}$$

(2)

半円 $C$ の中心 $C(1,0)$ に対し、中心角 $\angle OCP = \theta \ (0 < \theta < \pi)$ とおくと、$P(1-\cos\theta, \sin\theta)$ である。 $\widehat{OP} = \theta$ であり、$OQ = -t = 3\theta$ より $t = -3\theta$ となるから、$Q(-3\theta, 0)$ である。入射光線 $QP$ の傾き $m$ は、

$$m = \frac{\sin\theta}{1-\cos\theta + 3\theta}$$

$\theta \to +0$ のとき、分母分子を $\theta$ で割り $\lim_{\theta \to +0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ 等を用いると、

$$\lim_{\theta \to +0} m = \frac{1}{0 + 3} = \frac{1}{3}$$

(1) の結果より、反射光線の傾き $n$ の極限は、

$$\lim_{\theta \to +0} n = \frac{3 \left(\frac{1}{3}\right) + 4}{4 \left(\frac{1}{3}\right) - 3} = -3$$

直線 $QP : y = m(x+3\theta)$ と直線 $l: x+2y=4$ の交点 $H(x_H, y_H)$ は、

$$x_H = \frac{4 - 6m\theta}{1+2m}, \quad y_H = m(x_H+3\theta)$$

であるから、$\theta \to +0$ とすると、

$$\lim_{\theta \to +0} x_H = \frac{12}{5}, \quad \lim_{\theta \to +0} y_H = \frac{4}{5}$$

反射光線の方程式は $y - y_H = n(x - x_H)$ であり、点 $R$ の $x$ 座標 $x_R$ は $y=0$ として

$$x_R = x_H - \frac{y_H}{n}$$

極限をとると、

$$\lim_{\theta \to +0} x_R = \frac{12}{5} - \frac{\frac{4}{5}}{-3} = \frac{8}{3}$$

解説

本問は、光の反射の法則と極限の計算を組み合わせた総合問題である。
(1) で入射光線と反射光線の傾きの関係を求める際、図形的な対称性から正接の加法定理を用いる方法（解法1）と、方向ベクトルの対称移動を利用する方法（解法2）がある。ベクトルの利用は機械的な計算で済むため、符号や角度の取り違えによるミスを防ぎやすい。
(2) では、図形の条件から点 $P$ や点 $Q$ の座標をパラメータ表示する。原点における半円の接線が $y$ 軸であることを考慮し、中心角 $\theta$ を用いると弧の長さを簡潔に表すことができる。極限計算においては、$\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ や $\lim_{\theta \to 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta}=0$ といった基本公式を正確に適用することが求められる。