数学3 極限 問題 11 解説

方針・初手

与えられた式は $x \to -\infty$ のとき $\infty - \infty$ の不定形となるため、まずは分子の有理化を行う。 $x \to -\infty$ の極限を考える際、根号の扱い（特に $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となること）に注意が必要である。 符号の処理ミスを防ぐため、$t = -x$ とおいて $t \to \infty$ の極限に書き換える方法が安全で確実である。

解法1

$t = -x$ とおくと、$x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ である。 与えられた極限の式を $t$ で表すと、以下のようになる。

$$\lim_{t \to \infty} \left( \sqrt{(-t)^2 + (-t) + 1} - \sqrt{(-t)^2 + 1} \right)$$

$$= \lim_{t \to \infty} \left( \sqrt{t^2 - t + 1} - \sqrt{t^2 + 1} \right)$$

分子の有理化を行う。

$$= \lim_{t \to \infty} \frac{(\sqrt{t^2 - t + 1} - \sqrt{t^2 + 1})(\sqrt{t^2 - t + 1} + \sqrt{t^2 + 1})}{\sqrt{t^2 - t + 1} + \sqrt{t^2 + 1}}$$

$$= \lim_{t \to \infty} \frac{(t^2 - t + 1) - (t^2 + 1)}{\sqrt{t^2 - t + 1} + \sqrt{t^2 + 1}}$$

$$= \lim_{t \to \infty} \frac{-t}{\sqrt{t^2 - t + 1} + \sqrt{t^2 + 1}}$$

$t \to \infty$ を考えるので $t > 0$ としてよい。分母・分子を $t$ で割る。分母の根号の中は $t^2$ で割る。

$$= \lim_{t \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{\frac{t^2 - t + 1}{t^2}} + \sqrt{\frac{t^2 + 1}{t^2}}}$$

$$= \lim_{t \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1 - \frac{1}{t} + \frac{1}{t^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{t^2}}}$$

$t \to \infty$ のとき、$\frac{1}{t} \to 0$、$\frac{1}{t^2} \to 0$ であるから、

$$= \frac{-1}{\sqrt{1 - 0 + 0} + \sqrt{1 + 0}}$$

$$= \frac{-1}{1 + 1}$$

$$= -\frac{1}{2}$$

解法2

与えられた式の分子を有理化してそのまま計算を進める。

$$\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2+1} \right)$$

$$= \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2+1}}$$

$$= \lim_{x \to -\infty} \frac{(x^2+x+1) - (x^2+1)}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2+1}}$$

$$= \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x+1} + \sqrt{x^2+1}}$$

$x \to -\infty$ を考えるので $x < 0$ としてよい。 分母・分子を $x$ で割る。ここで、$x < 0$ のとき $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ であるから、$x = -\sqrt{x^2}$ となることに注意する。

$$= \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{-\sqrt{x^2}} + \frac{\sqrt{x^2+1}}{-\sqrt{x^2}}}$$

$$= \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x^2}} - \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}}$$

$$= \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$ であるから、

$$= \frac{1}{-\sqrt{1+0+0} - \sqrt{1+0}}$$

$$= \frac{1}{-1 - 1}$$

$$= -\frac{1}{2}$$

解説

$x \to -\infty$ における無理関数の極限を求める典型問題である。 解法1のように $t = -x$ とおき、$t \to \infty$ の極限に置き換える方法が推奨される。これにより、正の無限大への極限として扱えるため、根号の中に変数を入れ込む際の符号の処理ミスを劇的に減らすことができる。 解法2のように直接 $x$ で割る場合は、$x < 0$ であることから $x = -\sqrt{x^2}$ となる点を見落とすと、符号が逆の誤答となってしまうため細心の注意が必要である。

答え

$-\frac{1}{2}$