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数学3 極限問題 12 解説

方針・初手

分子と分母にある自然数の和、および自然数の2乗の和の公式をそれぞれ適用し、$n$ の多項式の形にしてから極限を計算する。

解法1

分子の括弧内は自然数の和であるから、

$$ 1+2+3+\cdots+n = \frac{1}{2}n(n+1) $$

分母の括弧内は自然数の2乗の和であるから、

$$ 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $$

これらを与えられた極限の式に代入する。

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{(1+2+3+\cdots+n)^3}{(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)^2} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\left\{ \frac{1}{2}n(n+1) \right\}^3}{\left\{ \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \right\}^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{8}n^3(n+1)^3}{\frac{1}{36}n^2(n+1)^2(2n+1)^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{36}{8} \cdot \frac{n(n+1)}{(2n+1)^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{9}{2} \cdot \frac{n^2+n}{4n^2+4n+1} \end{aligned} $$

分母と分子を $n^2$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{9}{2} \cdot \frac{1+\frac{1}{n}}{4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}} &= \frac{9}{2} \cdot \frac{1+0}{4+0+0} \\ &= \frac{9}{8} \end{aligned} $$

解説

自然数の累乗の和の公式を正確に適用できるかを問う基本的な極限の問題である。

極限の計算においては、分子と分母の最高次の項のみに注目することで、計算をショートカットすることができる。今回の場合、展開後の最高次はいずれも $n^6$ となる。分子の最高次の項は $\left( \frac{1}{2}n^2 \right)^3 = \frac{1}{8}n^6$、分母の最高次の項は $\left( \frac{1}{3}n^3 \right)^2 = \frac{1}{9}n^6$ である。したがって、極限値はこれらの係数の比となり、$\frac{1/8}{1/9} = \frac{9}{8}$ と直ちに求めることも可能である。マークシート式や空欄補充の形式ではこの着眼点が有効である。