数学3 極限 問題 13 解説

方針・初手

自然数 $A = 3 \cdot 2^n$ の約数は、素因数分解の形から $2^k$ と $3 \cdot 2^k$ （$k=0, 1, 2, \dots, n$）の形で表される。これらの逆数の和を等比数列の和として直接計算するか、あるいは「約数の逆数の和は、（約数の総和）$\div$（元の数）に等しい」という性質を利用して求める。

解法1

$A = 3 \cdot 2^n$ の正の約数は、$2^k$ および $3 \cdot 2^k$ （$k = 0, 1, 2, \dots, n$）の形ですべて表される。

したがって、正の約数の逆数の和 $S(n)$ は次のように書ける。

$$S(n) = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} + \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{3 \cdot 2^k}$$

この式を共通因数でくくり直すと、次のようになる。

$$\begin{aligned} S(n) &= \left( 1 + \frac{1}{3} \right) \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{2^k} \\ &= \frac{4}{3} \left( 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \dots + \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) \end{aligned}$$

右辺の括弧内は初項 $1$、公比 $\frac{1}{2}$、項数 $n+1$ の等比数列の和であるから、

$$\begin{aligned} S(n) &= \frac{4}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} \\ &= \frac{4}{3} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{1}{2}} \\ &= \frac{8}{3} \left\{ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \right\} \\ &= \frac{4}{3} \left( 2 - \frac{1}{2^n} \right) \end{aligned}$$

次に、$n \to \infty$ のときの極限を求める。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} S(n) = \frac{4}{3} (2 - 0) = \frac{8}{3}$$

解法2

一般に、自然数 $N$ の正の約数を $d_1, d_2, \dots, d_m$ とすると、これらは $N$ を割ってできる数全体の集合に等しい。すなわち、

$$\{d_1, d_2, \dots, d_m\} = \left\{ \frac{N}{d_1}, \frac{N}{d_2}, \dots, \frac{N}{d_m} \right\}$$

が成り立つ。したがって、正の約数の逆数の和は次のように変形できる。

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \dots + \frac{1}{d_m} = \frac{\frac{N}{d_1} + \frac{N}{d_2} + \dots + \frac{N}{d_m}}{N} = \frac{d_m + d_{m-1} + \dots + d_1}{N}$$

つまり、「（約数の逆数の和）$=$（約数の総和）$\div N$」である。

本問において、$A = 3 \cdot 2^n$ の正の約数の総和を $T(n)$ とすると、公式より

$$\begin{aligned} T(n) &= (1 + 3) (1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^n) \\ &= 4 \cdot \frac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} \\ &= 4(2^{n+1} - 1) \end{aligned}$$

ゆえに、求める逆数の和 $S(n)$ は、

$$\begin{aligned} S(n) &= \frac{T(n)}{A} \\ &= \frac{4(2^{n+1} - 1)}{3 \cdot 2^n} \\ &= \frac{4}{3} \left( \frac{2^{n+1}}{2^n} - \frac{1}{2^n} \right) \\ &= \frac{4}{3} \left( 2 - \frac{1}{2^n} \right) \end{aligned}$$

極限の計算は解法1と同様であり、

$$\lim_{n \to \infty} S(n) = \frac{8}{3}$$

解説

「約数の逆数の和」を求める問題の典型的なアプローチを2つ紹介した。解法1のように素直に逆数を書き並べて因数分解（くくり出し）を行う方法は、元の数の約数の構造がシンプルな場合に有効である。

一方、解法2で用いた「（約数の逆数の和）$=$（約数の総和）$\div$（元の数）」という関係式は、完全数の定義などでも用いられる重要な性質である。これを知っていれば、公式を利用して約数の総和を求めるステップに帰着でき、式変形の見通しが良くなる。

極限の計算については、等比級数の基本的な性質に基づき容易に求まる。

答え

$$S(n) = \frac{4}{3} \left( 2 - \frac{1}{2^n} \right)$$

$$\lim_{n \to \infty} S(n) = \frac{8}{3}$$