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数学3 極限問題 16 解説

方針・初手

$x \to -\infty$ のとき、$3x+1 \to -\infty$、$\sqrt{9x^2+4x+1} \to \infty$ となるため、与えられた極限は $-\infty + \infty$ の不定形である。無理式を含む不定形の極限であるため、分子の有理化を行うのが基本方針となる。ただし、$x \to -\infty$ の極限では $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となる点に注意が必要である。符号の処理ミスを防ぐため、$t = -x$ とおいて $t \to \infty$ の極限に書き換える手法が非常に有効である。

解法1

$t = -x$ とおくと、$x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ である。

与えられた式を $t$ を用いて書き換えると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \left( 3x + 1 + \sqrt{9x^2 + 4x + 1} \right) &= \lim_{t \to \infty} \left\{ 3(-t) + 1 + \sqrt{9(-t)^2 + 4(-t) + 1} \right\} \\ &= \lim_{t \to \infty} \left( -3t + 1 + \sqrt{9t^2 - 4t + 1} \right) \\ &= \lim_{t \to \infty} \left( \sqrt{9t^2 - 4t + 1} - (3t - 1) \right) \end{aligned}$$

ここで分子の有理化を行うために、分母・分子に $\sqrt{9t^2 - 4t + 1} + (3t - 1)$ を掛ける。

$$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty} \frac{ \left\{ \sqrt{9t^2 - 4t + 1} - (3t - 1) \right\} \left\{ \sqrt{9t^2 - 4t + 1} + (3t - 1) \right\} }{ \sqrt{9t^2 - 4t + 1} + (3t - 1) } &= \lim_{t \to \infty} \frac{ (\sqrt{9t^2 - 4t + 1})^2 - (3t - 1)^2 }{ \sqrt{9t^2 - 4t + 1} + 3t - 1 } \\ &= \lim_{t \to \infty} \frac{ (9t^2 - 4t + 1) - (9t^2 - 6t + 1) }{ \sqrt{9t^2 - 4t + 1} + 3t - 1 } \\ &= \lim_{t \to \infty} \frac{ 2t }{ \sqrt{9t^2 - 4t + 1} + 3t - 1 } \end{aligned}$$

分母・分子を $t$ で割る。$t \to \infty$ の極限を考えるため $t > 0$ としてよく、$t = \sqrt{t^2}$ であるから、根号の中は $t^2$ で割ることになる。

$$\begin{aligned} \lim_{t \to \infty} \frac{ 2 }{ \sqrt{ \frac{9t^2 - 4t + 1}{t^2} } + 3 - \frac{1}{t} } &= \lim_{t \to \infty} \frac{ 2 }{ \sqrt{ 9 - \frac{4}{t} + \frac{1}{t^2} } + 3 - \frac{1}{t} } \end{aligned}$$

$t \to \infty$ のとき、$\frac{1}{t} \to 0$、$\frac{1}{t^2} \to 0$ であるから、極限値は次のように求まる。

$$\frac{ 2 }{ \sqrt{ 9 - 0 + 0 } + 3 - 0 } = \frac{ 2 }{ 3 + 3 } = \frac{ 2 }{ 6 } = \frac{ 1 }{ 3 }$$

解法2

$x \to -\infty$ の極限を考えるため、$x < 0$ としてよい。

そのまま分子の有理化を行うために、分母・分子に $3x + 1 - \sqrt{9x^2 + 4x + 1}$ を掛ける。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \frac{ \left( 3x + 1 + \sqrt{9x^2 + 4x + 1} \right) \left( 3x + 1 - \sqrt{9x^2 + 4x + 1} \right) }{ 3x + 1 - \sqrt{9x^2 + 4x + 1} } &= \lim_{x \to -\infty} \frac{ (3x + 1)^2 - (\sqrt{9x^2 + 4x + 1})^2 }{ 3x + 1 - \sqrt{9x^2 + 4x + 1} } \\ &= \lim_{x \to -\infty} \frac{ (9x^2 + 6x + 1) - (9x^2 + 4x + 1) }{ 3x + 1 - \sqrt{9x^2 + 4x + 1} } \\ &= \lim_{x \to -\infty} \frac{ 2x }{ 3x + 1 - \sqrt{9x^2 + 4x + 1} } \end{aligned}$$

分母・分子を $x$ で割る。ここで、$x < 0$ であるため $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となり、$x = - \sqrt{x^2}$ となることに注意する。したがって、分母の根号部分を $x$ で割ると、$\frac{1}{x} \sqrt{9x^2 + 4x + 1} = - \frac{1}{\sqrt{x^2}} \sqrt{9x^2 + 4x + 1} = - \sqrt{9 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$ となる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \frac{ 2 }{ 3 + \frac{1}{x} - \frac{\sqrt{9x^2 + 4x + 1}}{x} } &= \lim_{x \to -\infty} \frac{ 2 }{ 3 + \frac{1}{x} - \left( - \sqrt{9 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} \right) } \\ &= \lim_{x \to -\infty} \frac{ 2 }{ 3 + \frac{1}{x} + \sqrt{9 + \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} } \end{aligned}$$

$x \to -\infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$ であるから、極限値は次のように求まる。

$$\frac{ 2 }{ 3 + 0 + \sqrt{ 9 + 0 + 0 } } = \frac{ 2 }{ 3 + 3 } = \frac{ 1 }{ 3 }$$

解説

$x \to -\infty$ における無理式を含む極限の典型問題である。一般に $\sqrt{x^2} = |x|$ であり、$x < 0$ のときは $\sqrt{x^2} = -x$ となる点（すなわち $x = -\sqrt{x^2}$ として根号内に入れる必要がある点）が受験生が最も陥りやすい罠である。解法2のように直接計算することも可能だが、負の変数を根号の中に組み込む際に符号を間違えやすい。そのため、解法1のように $t = -x$ と置換し、$t \to \infty$ の極限に帰着させるのがミスを防ぐための定石である。$t > 0$ であれば $t = \sqrt{t^2}$ とそのまま扱えるため、計算の安全性が飛躍的に高まる。