数学3 極限 問題 17 解説

方針・初手

与えられた極限の式は、$\theta \to 0$ のとき $\frac{0}{0}$ の不定形となる。三角関数の極限の基本公式である $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ を利用できる形に式を変形することが目標である。

まずは分母にある $\tan\theta$ を $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ に置き換え、$\sin\theta$ でくくることで式を整理する。その後、$1-\cos\theta$ という形が現れるため、これに対する標準的な処理（分母分子に $1+\cos\theta$ を掛ける、または半角の公式を利用する）を行う。

解法1

分母の $\tan\theta$ を $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ と変形し、整理する。

$$\begin{aligned} \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3}{\tan\theta - \sin\theta} &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} - \sin\theta} \\ &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3}{\sin\theta \left( \frac{1}{\cos\theta} - 1 \right)} \\ &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3 \cos\theta}{\sin\theta(1 - \cos\theta)} \end{aligned}$$

極限の基本公式 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ を利用するため、分母分子に $1+\cos\theta$ を掛けて分母の $1-\cos\theta$ を $\sin^2\theta$ に変換する。

$$\begin{aligned} \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3 \cos\theta (1 + \cos\theta)}{\sin\theta(1 - \cos\theta)(1 + \cos\theta)} &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3 \cos\theta (1 + \cos\theta)}{\sin\theta(1 - \cos^2\theta)} \\ &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3 \cos\theta (1 + \cos\theta)}{\sin^3\theta} \\ &= \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\theta}{\sin\theta} \right)^3 \cos\theta (1 + \cos\theta) \end{aligned}$$

$\theta \to 0$ のとき、$\frac{\theta}{\sin\theta} \to 1$、$\cos\theta \to 1$ であるから、

$$\lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\theta}{\sin\theta} \right)^3 \cos\theta (1 + \cos\theta) = 1^3 \cdot 1 \cdot (1 + 1) = 2$$

となる。

解法2

解法1と同様に式を整理し、$1-\cos\theta$ を導き出すところまでは同じである。

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3}{\tan\theta - \sin\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3 \cos\theta}{\sin\theta(1 - \cos\theta)}$$

ここで、半角の公式より $1 - \cos\theta = 2\sin^2\frac{\theta}{2}$ であることを利用して変形する。

$$\begin{aligned} \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3 \cos\theta}{\sin\theta(1 - \cos\theta)} &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3 \cos\theta}{\sin\theta \left( 2\sin^2\frac{\theta}{2} \right)} \\ &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin\theta} \cdot \frac{\theta^2}{2\sin^2\frac{\theta}{2}} \cdot \cos\theta \end{aligned}$$

$\theta^2 = 4 \left( \frac{\theta}{2} \right)^2$ であるため、さらに式を整理する。

$$\begin{aligned} \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin\theta} \cdot \frac{4 \left( \frac{\theta}{2} \right)^2}{2\sin^2\frac{\theta}{2}} \cdot \cos\theta &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin\theta} \cdot 2 \left( \frac{\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \right)^2 \cos\theta \end{aligned}$$

$\theta \to 0$ のとき、$\frac{\theta}{2} \to 0$ であり、$\frac{\theta}{\sin\theta} \to 1$、$\frac{\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \to 1$、$\cos\theta \to 1$ であるから、

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin\theta} \cdot 2 \left( \frac{\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \right)^2 \cos\theta = 1 \cdot 2 \cdot 1^2 \cdot 1 = 2$$

となる。

解説

三角関数の極限問題における典型的な処理を問う問題である。$\tan\theta$ を見たら $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ に直すこと、そして $1-\cos\theta$ という形が現れたら、分母分子に $1+\cos\theta$ を掛けるか、半角の公式を用いて $\sin$ の形を作り出すことが定石である。

いずれの方針を採るにしても、最終的に $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の形（またはその逆数）を意図的に作り出すように式を変形していくことが重要となる。

答え

$$2$$