数学3 極限 問題 18 解説

方針・初手

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用できる形を作り出す。そのためには、分母の $\cos 3x - \cos x$ を因数分解し、$\sin$ を含む積の形に変形することが目標となる。和積の公式、あるいは3倍角の公式を用いるのが有効である。

解法1

和積の公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いる。

分母を変形すると、

$$\cos 3x - \cos x = -2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2} = -2 \sin 2x \sin x$$

となる。これを与式に代入すると、

$$\lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{\cos 3x - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{-2 \sin 2x \sin x}$$

$x \to 0$ を考えるとき、$x \neq 0$ より $\sin x \neq 0$ として約分できるので、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{x}{-2 \sin 2x} &= \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\sin 2x} \right) \\ &= \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{4} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \right) \end{aligned}$$

ここで、$\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin \theta} = 1$ であるから、

$$-\frac{1}{4} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$$

解法2

3倍角の公式 $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ を用いる。

分母を変形すると、

$$\begin{aligned} \cos 3x - \cos x &= (4\cos^3 x - 3\cos x) - \cos x \\ &= 4\cos^3 x - 4\cos x \\ &= 4\cos x(\cos^2 x - 1) \end{aligned}$$

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$ であるから、

$$4\cos x(-\sin^2 x) = -4\cos x \sin^2 x$$

これを与式に代入すると、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{\cos 3x - \cos x} &= \lim_{x \to 0} \frac{x \sin x}{-4\cos x \sin^2 x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{x}{-4\cos x \sin x} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{4\cos x} \cdot \frac{x}{\sin x} \right) \end{aligned}$$

$x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$、$\frac{x}{\sin x} \to 1$ であるから、

$$-\frac{1}{4 \cdot 1} \cdot 1 = -\frac{1}{4}$$

解説

三角関数の極限の基本である $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ に帰着させるのが定石である。

分母の $\cos 3x - \cos x$ のような三角関数の和や差の形は、そのままでは極限の公式を適用しにくい。そのため、和積の公式や倍角・3倍角の公式を用いて積の形に直し、$x$ や $\sin x$ をくくり出す操作が必須となる。和積の公式を覚えていない場合でも、解法2のように加法定理から導ける公式を用いれば確実に解くことができる。

答え

$$-\frac{1}{4}$$