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数学3 極限問題 19 解説

方針・初手

与えられたネイピア数 $e$ の極限の式 $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$ を利用できるように、与式の形を整える。具体的には、カッコ内の分数の分子を $1$ にするために、変数変換を行う。

解法1

$a > 0$ より、$\frac{x^2}{a} = t$ とおく。

$x \to \infty$ のとき、$x^2 \to \infty$ であり、$a > 0$ であるから $t \to \infty$ となる。また、$x^2 = at$ と表せる。

これを用いて、求める極限の式を変形すると以下のようになる。

$$\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{a}{x^2} \right)^{x^2} = \lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{at}$$

指数法則を用いて、この式をさらに変形する。

$$\lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{at} = \lim_{t \to \infty} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t \right\}^a$$

問題文で与えられている極限 $\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$ より、$\lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t = e$ であるから、次のように極限値が求まる。

$$\lim_{t \to \infty} \left\{ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t \right\}^a = e^a$$

解説

ネイピア数 $e$ の定義式を利用する標準的な極限の計算問題である。

$\left( 1 + \frac{1}{\text{○}} \right)^{\text{○}}$ の形を作り出し、$\text{○} \to \infty$ となることを確認するのが定石である。本問では、$\text{○}$ にあたる部分が $\frac{x^2}{a}$ となるため、これを新たな変数 $t$ と置き換えることで、定義式を直接適用できる形に帰着させている。