数学3 極限 問題 20 解説

方針・初手

関数の極限における基本的な公式 $\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$、$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$、$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$ を利用できるように、与えられた式を変形する。それぞれの関数の引数（かたまり）に着目し、公式の形を無理やり作り出してから帳尻を合わせるのが定石である。

解法1

与式を変形して、極限の基本公式が使える形を作る。まず、分子の $e^{x \sin 3x} - 1$ について、分母に $x \sin 3x$ を用意することで基本形を作る。

$$\frac{e^{x \sin 3x} - 1}{x \log(1+x)} = \frac{e^{x \sin 3x} - 1}{x \sin 3x} \cdot \frac{x \sin 3x}{x \log(1+x)}$$

ここで、$x \to 0$ のとき $x \sin 3x \to 0$ であるから、極限の公式より以下が成り立つ。

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x \sin 3x} - 1}{x \sin 3x} = 1$$

残りの部分については、分母と分子をそれぞれ $x$ で割るなどの変形を行い、さらに形を整える。

$$\frac{x \sin 3x}{x \log(1+x)} = \frac{\sin 3x}{\log(1+x)} = \frac{\frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3x}{\frac{\log(1+x)}{x} \cdot x} = 3 \cdot \frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{\log(1+x)}{x}}$$

$x \to 0$ のとき $3x \to 0$ であるから、三角関数と対数関数の極限の公式より、以下の2式が成り立つ。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$$

以上をまとめると、求める極限は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \sin 3x} - 1}{x \log(1+x)} &= \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{x \sin 3x} - 1}{x \sin 3x} \cdot \frac{x \sin 3x}{x \log(1+x)} \right) \\ &= \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^{x \sin 3x} - 1}{x \sin 3x} \cdot 3 \cdot \frac{\frac{\sin 3x}{3x}}{\frac{\log(1+x)}{x}} \right) \\ &= 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{1} \\ &= 3 \end{aligned}$$

解説

自然対数の底 $e$ の定義に由来する極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$、および三角関数の極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$、対数関数の極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ を組み合わせた標準的な問題である。

いずれも「公式で使われている文字の部分（ここでは $x \sin 3x$ や $3x$）と同じ形を分母に作り出し、同じ式を掛けて相殺する」という式変形が有効である。式の構造が複雑に見えても、指数関数・三角関数・対数関数のそれぞれについて独立して極限の基本形を作れば、迷うことなく正答に辿り着ける。

答え

$3$