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数学3 極限問題 21 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ を $x$ について微分し、$f'(x)$ を求める。その後、求めた $f'(x)$ を用いて指定された極限の計算を行う。極限の計算では $x \to -\infty$ であることに注意し、根号を含む式を $x$ で割る際の符号の扱いに気をつける。

解法1

$f(x) = x\sqrt{x^2+1} + \log_e(x+\sqrt{x^2+1})$ を微分する。

第1項について、積の微分公式を用いると以下のようになる。

$$\begin{aligned} (x\sqrt{x^2+1})' &= 1 \cdot \sqrt{x^2+1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x \\ &= \sqrt{x^2+1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{(x^2+1)+x^2}{\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}$$

第2項について、合成関数の微分公式を用いると以下のようになる。

$$\begin{aligned} (\log_e(x+\sqrt{x^2+1}))' &= \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)' \\ &= \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left(1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x\right) \\ &= \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) \\ &= \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \end{aligned}$$

したがって、$f'(x)$ はこれらを足し合わせて次のように求まる。

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{2x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{2x^2+2}{\sqrt{x^2+1}} \\ &= \frac{2(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}} \\ &= 2\sqrt{x^2+1} \end{aligned}$$

次に、極限 $\lim_{x \to -\infty} \frac{f'(x)}{x}$ を計算する。

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{f'(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2\sqrt{x^2+1}}{x}$$

ここで、$x \to -\infty$ の極限を考えるため、$x < 0$ としてよい。このとき、$x = -|x| = -\sqrt{x^2}$ と表すことができる。これを用いると、式の変形は以下のようになる。

$$\begin{aligned} \frac{2\sqrt{x^2+1}}{x} &= \frac{2\sqrt{x^2+1}}{-\sqrt{x^2}} \\ &= -2\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} \\ &= -2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \end{aligned}$$

$x \to -\infty$ のとき $\frac{1}{x^2} \to 0$ となるから、極限値は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} \frac{f'(x)}{x} &= \lim_{x \to -\infty} \left( -2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \right) \\ &= -2\sqrt{1+0} \\ &= -2 \end{aligned}$$

問題文より、この極限値が $-[ア]$ と等しいので、$-2 = -[ア]$ となる。

解説

$\log_e(x+\sqrt{x^2+1})$ の微分は、結果が $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ となる頻出の計算である。無理関数の積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$ の結果としても現れるため、スムーズに導出できるように慣れておくとよい。

また、負の無限大への極限において、根号を含む式を扱う際の符号に注意が必要である。$x < 0$ のとき $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となるため、$x$ で割る操作は $-\sqrt{x^2}$ で割る操作と同じになる。ここで符号を間違えて極限値を $2$ と答えてしまうミスが非常に多いため、$-\sqrt{x^2}$ を用いる変形を確実に実行したい。