数学3 極限 問題 23 解説

方針・初手

与えられた極限は $n \to \infty$ とすると $\infty \times 0$ の不定形となる。式の中に平方根が含まれているため、分子の有理化を行って不定形を解消することが第一感である。また、式の形から微係数の定義を利用することも考えられる。

解法1

与式の括弧の中身について、分子と分母に $\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2$ を掛けて分子の有理化を行う。

$$\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt{4 + \frac{1}{n}} - 2 \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n \left\{ \left( \sqrt{4 + \frac{1}{n}} \right)^2 - 2^2 \right\}}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2}$$

分子を計算して整理する。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n \left( 4 + \frac{1}{n} - 4 \right)}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2}$$

$$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4 + \frac{1}{n}} + 2}$$

$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{n} \to 0$ となるため、極限値を求めることができる。

$$\frac{1}{\sqrt{4 + 0} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$$

解法2

微係数の定義を利用する。

$f(x) = \sqrt{x}$ とおく。この関数の導関数は以下のようになる。

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

ここで、$h = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $h \to +0$ である。与式を $h$ を用いて書き換えると、微係数 $f'(4)$ の定義式が現れる。

$$\lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt{4 + \frac{1}{n}} - 2 \right) = \lim_{h \to +0} \frac{\sqrt{4 + h} - \sqrt{4}}{h}$$

$$= f'(4)$$

$f'(4)$ を計算して極限値を求める。

$$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$$

解説

$\infty \times 0$ 型の極限における典型問題である。無理式を含む場合は、「分子の有理化」によって極限値が求まる形に変形するのが基本手筋となる。解法1はこの基本に忠実なアプローチである。

一方、解法2のように式の構造から微係数の定義を読み取る視点も重要である。$\frac{\text{増分}}{\text{増分}}$ の形が隠れていることに気付けば、計算量を大きく減らすことができ、より複雑な関数が与えられた場合にも応用が利く。

答え

$\frac{1}{4}$