数学3 極限 問題 24 解説

方針・初手

中心角を $\frac{2\pi}{n}$ とする二等辺三角形の面積を足し合わせることで、内接正 $n$ 角形の面積 $S_n$ および外接正 $n$ 角形の面積 $T_n$ をそれぞれ $n$ の式で表す。その後、$\theta = \frac{\pi}{n}$ とおき、三角関数の極限の基本公式 $\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ が利用できる形に変形する。

解法1

半径 $1$ の円に内接する正 $n$ 角形は、円の中心を頂点とし、等辺の長さが $1$、頂角が $\frac{2\pi}{n}$ である合同な二等辺三角形 $n$ 個に分割できる。 したがって、内接正 $n$ 角形の面積 $S_n$ は以下のようになる。

$$S_n = n \times \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) = \frac{n}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$$

2倍角の公式 $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ を用いると、次のように変形できる。

$$S_n = n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

次に、半径 $1$ の円に外接する正 $n$ 角形も、円の中心を頂点とする合同な二等辺三角形 $n$ 個に分割できる。 この二等辺三角形は、高さが円の半径 $1$ であり、頂角が $\frac{2\pi}{n}$ である。底辺の長さを $2x$ とすると、$\frac{x}{1} = \tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$ より底辺の長さは $2\tan\left(\frac{\pi}{n}\right)$ となる。 したがって、外接正 $n$ 角形の面積 $T_n$ は以下のようになる。

$$T_n = n \times \frac{1}{2} \cdot 2\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) \cdot 1 = n\tan\left(\frac{\pi}{n}\right) = n\frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}$$

これらを用いて、$T_n - S_n$ を計算する。

$$\begin{aligned} T_n - S_n &= n\frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} - n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \\ &= n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \left\{ \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} - \cos\left(\frac{\pi}{n}\right) \right\} \\ &= n\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \frac{1 - \cos^2\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} \\ &= n\frac{\sin^3\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} \end{aligned}$$

求める極限は $\lim_{n\to\infty} n^2(T_n - S_n)$ である。ここで $\theta = \frac{\pi}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $\theta \to +0$ であり、$n = \frac{\pi}{\theta}$ となる。

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty} n^2(T_n - S_n) &= \lim_{n\to\infty} n^3 \frac{\sin^3\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} \\ &= \lim_{\theta\to +0} \left(\frac{\pi}{\theta}\right)^3 \frac{\sin^3\theta}{\cos\theta} \\ &= \lim_{\theta\to +0} \pi^3 \left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)^3 \frac{1}{\cos\theta} \end{aligned}$$

$\lim_{\theta\to +0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ であり、$\lim_{\theta\to +0} \cos\theta = 1$ であるから、極限値は次のように求まる。

$$\pi^3 \cdot 1^3 \cdot \frac{1}{1} = \pi^3$$

解説

正多角形の面積を三角関数を用いて立式し、極限を求める頻出問題である。$n \to \infty$ のとき、$S_n \to \pi$（単位円の面積）、$T_n \to \pi$ となるため、$T_n - S_n \to 0$ となる。求める式は $\infty \times 0$ の不定形であるため、立式後に因数分解などの式変形を行い、極限の基本公式 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ が使える形へと帰着させる方針が有効である。極限計算において角度部分を $\theta$ などに置換すると、ミスなく計算を進めることができる。

答え

$\pi^3$