数学3 極限 問題 25 解説

方針・初手

数列の極限の問題において、分母・分子が等比数列の和や差で表されている場合は、底の絶対値が最大の項で分母・分子を割るのが基本である。本問では、与えられた $\theta$ の範囲から $\cos \theta$ と $\sin \theta$ の大小関係を判断し、絶対値が大きい方で分母・分子を割って極限を計算する。

解法1

$\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2}$ において、$\cos \theta$ および $\sin \theta$ の値の範囲を考える。 この範囲では、単調減少する $\cos \theta$ と単調増加する $\sin \theta$ のグラフを考慮すると、常に $\sin \theta > \cos \theta > 0$ が成り立つ。

両辺を正の値である $\sin \theta$ で割ると、以下の不等式を得る。

$$0 < \frac{\cos \theta}{\sin \theta} < 1$$

求める極限の式の分母と分子を $\sin^n \theta$ で割ると、次のように変形できる。

$$\frac{\cos^n \theta - \sin^n \theta}{\cos^n \theta + \sin^n \theta} = \frac{\left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^n - 1}{\left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^n + 1}$$

ここで、$0 < \frac{\cos \theta}{\sin \theta} < 1$ であるから、$n \to \infty$ としたとき $\left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^n \to 0$ となる。

したがって、求める極限値は以下のようになる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{\cos^n \theta - \sin^n \theta}{\cos^n \theta + \sin^n \theta} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^n - 1}{\left( \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)^n + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$$

解説

等比数列の極限 $\lim_{n \to \infty} r^n$ は、公比 $r$ の値によって振る舞いが変わる。本問のような分数式の極限では、分母の項のうち底の絶対値が最大のもの（最も速く発散、または減衰が遅いもの）で分母・分子を割ることで、$|r| < 1$ の形を作り出し、極限を $0$ に収束させて計算可能にすることが定石である。$\theta$ の変域から $\sin \theta$ と $\cos \theta$ の大小を正しく判定することが唯一のポイントである。

答え

$-1$