数学3 極限 問題 26 解説

方針・初手

極限値が有限確定値として存在し、かつ分母の極限が $0$ になることから、分子の極限も $0$ にならなければならないという性質を利用する。 特に $\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{x^2} = 2$ という条件から、$f(x)$ の定数項と $1$ 次の項の係数が $0$ になり、$x^2$ の係数が定まることを見抜いて、$f(x)$ の形を絞り込むのが効率的である。

解法1

$f(x)$ は $3$ 次関数であるから、$a \neq 0$ として、

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$

とおくことができる。

条件より、

$$\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{x^2} = 2$$

が成り立つ。$x \to 0$ のとき (分母) $\to 0$ であるから、極限値が存在するためには (分子) $\to 0$ でなければならない。 $f(x)$ は多項式関数であり連続であるから、

$$\lim_{x\to0} f(x) = f(0) = 0$$

よって、$d = 0$ である。 このとき、

$$\frac{f(x)}{x^2} = \frac{ax^3 + bx^2 + cx}{x^2} = ax + b + \frac{c}{x}$$

となる。これが $x \to 0$ で有限の極限値 $2$ を持つためには、$c = 0$ であり、かつ $\lim_{x\to0} (ax + b) = 2$ とならなければならない。 ゆえに、$b = 2$ である。 したがって、$f(x) = ax^3 + 2x^2$ と表せる。

次に、もう一つの極限の条件

$$\lim_{x\to-2} \frac{f(x)}{x+2} = 4$$

について考える。同様に、$x \to -2$ のとき (分母) $\to 0$ であるから、極限値が存在するためには (分子) $\to 0$ でなければならない。 よって、

$$\lim_{x\to-2} f(x) = f(-2) = 0$$

となる。$f(x) = ax^3 + 2x^2$ に代入して、

$$a(-2)^3 + 2(-2)^2 = -8a + 8 = 0$$

$$a = 1$$

これは $3$ 次関数であるための条件 $a \neq 0$ を満たす。

逆にこのとき、$f(x) = x^3 + 2x^2 = x^2(x+2)$ となり、

$$\lim_{x\to-2} \frac{f(x)}{x+2} = \lim_{x\to-2} \frac{x^2(x+2)}{x+2} = \lim_{x\to-2} x^2 = 4$$

となり、もう一つの条件も満たす。

よって、求める $3$ 次関数は $f(x) = x^3 + 2x^2$ である。

解説

分数関数の極限における未定係数決定の典型問題である。 $\lim_{x\to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)}$ が有限確定値に収束し、$\lim_{x\to \alpha} g(x) = 0$ ならば、$\lim_{x\to \alpha} f(x) = 0$ となる性質は極めて重要である。

本問では $\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{x^2}$ を考える際、$f(x)$ のマクローリン展開（多項式の場合は単なる係数比較）を意識し、$x^2$ で割って極限が存在することから、$x^1$ 以下の項が存在しないこと、そして $x^2$ の項の係数が極限値に一致することを即座に見抜ければ、計算を大幅に省略できる。 また、必要条件から係数を求めた後は、必ずその係数を持つ関数が元の極限の条件を満たすかどうかの十分性の確認を行う必要がある。

答え

$f(x) = x^3 + 2x^2$