数学3 極限 問題 27 解説

方針・初手

分数関数の極限において、分母が $0$ に収束するときに有限な極限値が存在するならば、分子も $0$ に収束しなければならない、という性質を利用する。これにより $a, b$ の関係式を導き、文字を減らしてから極限を計算し、係数を決定する。

解法1

$$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+7}+b}{x-2} = 1$$

が成り立つとする。$x \to 2$ のとき、分母は $\lim_{x \to 2} (x-2) = 0$ となる。 与えられた極限値が存在するためには、分子も $0$ に収束する必要がある。すなわち、

$$\lim_{x \to 2} (a\sqrt{x+7}+b) = 0$$

が成り立たなければならない。極限を計算すると、

$$a\sqrt{9}+b = 0$$

$$3a+b = 0$$

よって、$b = -3a$ を得る。これを元の極限の式に代入すると、

$$\lim_{x \to 2} \frac{a\sqrt{x+7}-3a}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x+7}-3)}{x-2}$$

分子を有理化するために、分子・分母に $\sqrt{x+7}+3$ を掛ける。

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 2} \frac{a(\sqrt{x+7}-3)(\sqrt{x+7}+3)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} &= \lim_{x \to 2} \frac{a(x+7-9)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{a(x-2)}{(x-2)(\sqrt{x+7}+3)} \end{aligned}$$

$x \to 2$ において $x \neq 2$ としてよいので、$x-2$ で約分すると、

$$\lim_{x \to 2} \frac{a}{\sqrt{x+7}+3} = \frac{a}{\sqrt{9}+3} = \frac{a}{6}$$

となる。条件よりこの極限値が $1$ であるから、

$$\frac{a}{6} = 1$$

よって、$a = 6$ である。 これを $b = -3a$ に代入して、$b = -18$ を得る。

逆にこのとき、$\lim_{x \to 2} \frac{6\sqrt{x+7}-18}{x-2} = 1$ となり、条件を満たす。

解説

関数の極限における未定係数の決定問題である。 「$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \alpha$ かつ $\lim_{x \to c} g(x) = 0$ ならば、$\lim_{x \to c} f(x) = 0$」という定理を利用した典型的な解法である。 また、根号を含む $\frac{0}{0}$ の不定形の極限計算では、分子（または分母）を有理化し、分母を $0$ にしている因数（今回は $x-2$）をくくり出して約分するのが定石である。 なお、分子が $0$ に収束することは極限が存在するための「必要条件」にすぎないため、記述式答案においては、求めた値が元の条件を満たすかどうかの確認（十分性の確認）を最後に一言書き添えるのが望ましい。

答え

$a = 6$

$b = -18$