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数学3 極限問題 28 解説

方針・初手

点 $\text{P}_n$ の座標を求め、線分 $\text{AP}_n$ の長さ $l_n$ と $\tan \theta_n$ をそれぞれ $n$ を用いて表す。角度 $\theta_n$ そのものを $n$ の式で表すことはできないため、$\frac{l_n}{\theta_n}$ を $\frac{l_n}{\tan \theta_n} \cdot \frac{\tan \theta_n}{\theta_n}$ と変形し、極限の公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ を利用する。

解法1

点 $\text{A}(2, 0)$、$\text{B}(0, 1)$ について、線分 $\text{AB}$ の長さは

$$\text{AB} = \sqrt{(0-2)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{5}$$

である。

点 $\text{P}_n$ は線分 $\text{AB}$ を $1 : n$ に内分する点であるから、その座標は

$$\left( \frac{n \cdot 2 + 1 \cdot 0}{1 + n}, \frac{n \cdot 0 + 1 \cdot 1}{1 + n} \right) = \left( \frac{2n}{n+1}, \frac{1}{n+1} \right)$$

となる。

$l_n$ は線分 $\text{AP}_n$ の長さである。点 $\text{P}_n$ は線分 $\text{AB}$ 上にあるので、内分比から $l_n$ は次のように求まる。

$$l_n = \frac{1}{1+n} \text{AB} = \frac{\sqrt{5}}{n+1}$$

また、$\theta_n = \angle \text{AOP}_n$ であり、点 $\text{A}$ は $x$ 軸の正の部分にあるため、$\tan \theta_n$ は直線 $\text{OP}_n$ の傾きに等しい。したがって、

$$\tan \theta_n = \frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{2n}{n+1}} = \frac{1}{2n}$$

となる。

ここで、$n \to \infty$ のとき $\tan \theta_n \to 0$ であり、$0 < \theta_n < \frac{\pi}{2}$ であるから $\theta_n \to +0$ となる。

求める極限値は、次のように変形して計算できる。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{l_n}{\theta_n} &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{l_n}{\tan \theta_n} \cdot \frac{\tan \theta_n}{\theta_n} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{\sqrt{5}}{n+1}}{\frac{1}{2n}} \cdot \frac{\tan \theta_n}{\theta_n} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n\sqrt{5}}{n+1} \cdot \frac{\tan \theta_n}{\theta_n} \right) \\ &= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2\sqrt{5}}{1 + \frac{1}{n}} \cdot \frac{\tan \theta_n}{\theta_n} \right) \end{aligned}$$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ であり、$\theta_n \to +0$ のとき $\lim_{\theta_n \to +0} \frac{\tan \theta_n}{\theta_n} = 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} \frac{l_n}{\theta_n} = \frac{2\sqrt{5}}{1 + 0} \cdot 1 = 2\sqrt{5}$$

となる。

解説

図形の長さや角度を数列として扱い、極限を求める典型的な問題である。角度 $\theta_n$ が直接求まらないため、$\tan \theta_n$ を経由して $\frac{\tan \theta_n}{\theta_n} \to 1$ の極限公式に持ち込む発想が鍵となる。この公式を適用する際は、必ず $n \to \infty$ において $\theta_n \to 0$ となることを確認して記述する必要がある。また、$l_n$ を求める際、座標から距離公式を使ってもよいが、内分比を利用すると計算が簡略化される。