数学3 極限 問題 29 解説

方針・初手

分子と分母のそれぞれが数列の和で表されているため、まずは和を計算して $n$ の式で表すことを考える。和の公式 $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を用いて計算し、その後に極限をとるのが自然な方針である。 また、分子と分母のそれぞれの各項が $n$ と $k$ の2次式になっていることに着目し、分母と分子を $n^3$ で割ることで区分求積法の形に持ち込む別解も考えられる。

解法1

求める極限の式を $L$ とおく。 分子の和は $\sum_{k=1}^{n} (n+k)^2$ であり、これは $\sum_{k=n+1}^{2n} k^2$ と書き直すことができる。

$$\sum_{k=n+1}^{2n} k^2 = \sum_{k=1}^{2n} k^2 - \sum_{k=1}^n k^2$$

これに自然数の2乗の和の公式を適用する。

$$\begin{aligned} \sum_{k=n+1}^{2n} k^2 &= \frac{1}{6}(2n)(2n+1)\{2(2n)+1\} - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ &= \frac{1}{6} \cdot 2n(2n+1)(4n+1) - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ &= \frac{1}{6}n(2n+1) \{ 2(4n+1) - (n+1) \} \\ &= \frac{1}{6}n(2n+1)(8n+2 - n - 1) \\ &= \frac{1}{6}n(2n+1)(7n+1) \end{aligned}$$

一方、分母の和は $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ である。 したがって、与えられた分数は次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \frac{(n+1)^2 + (n+2)^2 + \cdots + (2n)^2}{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2} &= \frac{\frac{1}{6}n(2n+1)(7n+1)}{\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)} \\ &= \frac{7n+1}{n+1} \end{aligned}$$

極限を求めるために、分母・分子を $n$ で割る。

$$\begin{aligned} L &= \lim_{n \to \infty} \frac{7n+1}{n+1} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{7 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} \\ &= \frac{7 + 0}{1 + 0} \\ &= 7 \end{aligned}$$

解法2

求める極限の式について、分母と分子をそれぞれ $n^3$ で割ることで、区分求積法の形を作る。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 + (n+2)^2 + \cdots + (2n)^2}{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2} &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n (n+k)^2}{\frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^n k^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{n+k}{n}\right)^2}{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(1 + \frac{k}{n}\right)^2}{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2} \end{aligned}$$

ここで、$n \to \infty$ とすると、分子と分母はそれぞれ以下の定積分に収束する。

分子の極限：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(1 + \frac{k}{n}\right)^2 = \int_0^1 (1+x)^2 dx$$

分母の極限：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^2 = \int_0^1 x^2 dx$$

それぞれの定積分を計算する。

$$\begin{aligned} \int_0^1 (1+x)^2 dx &= \left[ \frac{1}{3}(1+x)^3 \right]_0^1 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \int_0^1 x^2 dx &= \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3} \end{aligned}$$

よって、求める極限はこれらの比となる。

$$\frac{\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = 7$$

解説

分母・分子ともに数列の和となっている極限の基本問題である。 解法1のように $\Sigma$ の公式を用いて直接計算するのが最も確実な方法である。計算の際、分子を $k=n+1$ から $2n$ までの和と見なして差の形にすると計算量が減る。 一方、解法2のように区分求積法を用いると、計算が格段に楽になる。分母分子が同次式のような構造をしていることに気づけば、$n$ の適切な累乗（ここでは $n^3$）で割ることで積分に帰着できる。この発想は極限問題で非常に強力な武器となるため、ぜひ習得しておきたい。

答え

7