数学3 極限 問題 30 解説

方針・初手

シグマの中の各項を分割し、それぞれを独立した無限等比級数として計算する。各項は公比の絶対値が $1$ より小さい等比数列であるため収束し、項別に極限をとって和を求めることが可能である。

解法1

各項は無限等比級数であり、それぞれの公比は $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}$ である。 これらの公比はすべて絶対値が $1$ より小さいため、それぞれの無限等比級数は収束する。 したがって、与えられた級数は項別に和を求めることができる。

一般に、公比の絶対値が $1$ より小さい無限等比級数の和は、初項 $a$、公比 $r$ とすると $\frac{a}{1-r}$ となる。 整数 $k \geqq 2$ に対して、

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^n} = \frac{\frac{1}{k}}{1 - \frac{1}{k}} = \frac{1}{k-1}$$

が成り立つ。これを用いて各項の和を計算すると、以下のようになる。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2-1} = 1$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} = \frac{1}{4-1} = \frac{1}{3}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5^n} = \frac{1}{5-1} = \frac{1}{4}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6^n} = \frac{1}{6-1} = \frac{1}{5}$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{7^n} = \frac{1}{7-1} = \frac{1}{6}$$

よって、求める値はこれらの和および差として計算できる。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} + \frac{1}{4^n} - \frac{1}{5^n} + \frac{1}{6^n} - \frac{1}{7^n} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6}$$

これを通分して計算する。分母の最小公倍数は $60$ である。

$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{60 - 30 + 20 - 15 + 12 - 10}{60}$$

$$= \frac{37}{60}$$

解説

複数の無限等比級数の和と差からなる基本的な計算問題である。 無限級数の和の順序交換や分割（分配法則のような計算）が許されるのは、分割した後の各級数がそれぞれ収束する場合に限られる。本問では、各項の公比の絶対値が $1$ より小さいことから収束が保証されているため、項別に計算して差し支えない。 最後の分数の足し引きで計算ミスをしないように注意して通分を行えばよい。

答え

$\frac{37}{60}$