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数学3 極限問題 31 解説

方針・初手

$x \to 2$ とすると、分母・分子ともに $0$ に収束するため、$\frac{0}{0}$ の不定形となる。無理式を含む不定形の極限であるから、分母と分子のそれぞれについて共役な無理式を掛けて有理化を行い、因数 $x-2$ をくくり出して約分する。

解法1

与えられた極限を $L$ とおく。分子と分母にそれぞれ共役な無理式を掛けて変形する。

$$L = \lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{3+x} - \sqrt{7-x})(\sqrt{3+x} + \sqrt{7-x})(\sqrt{(1+x)(3-x)} + \sqrt{(1-x)(1-2x)})}{(\sqrt{(1+x)(3-x)} - \sqrt{(1-x)(1-2x)})(\sqrt{(1+x)(3-x)} + \sqrt{(1-x)(1-2x)})(\sqrt{3+x} + \sqrt{7-x})}$$

分子の括弧を展開すると、

$$(\sqrt{3+x} - \sqrt{7-x})(\sqrt{3+x} + \sqrt{7-x}) = (3+x) - (7-x) = 2x - 4 = 2(x-2)$$

となる。また、分母の括弧を展開すると、

$$\begin{aligned} (\sqrt{(1+x)(3-x)} - \sqrt{(1-x)(1-2x)})(\sqrt{(1+x)(3-x)} + \sqrt{(1-x)(1-2x)}) &= (1+x)(3-x) - (1-x)(1-2x) \\ &= (-x^2 + 2x + 3) - (2x^2 - 3x + 1) \\ &= -3x^2 + 5x + 2 \\ &= -(3x^2 - 5x - 2) \\ &= -(x-2)(3x+1) \end{aligned}$$

となる。これらを与式に代入すると、

$$L = \lim_{x \to 2} \frac{2(x-2)(\sqrt{(1+x)(3-x)} + \sqrt{(1-x)(1-2x)})}{-(x-2)(3x+1)(\sqrt{3+x} + \sqrt{7-x})}$$

$x \to 2$ のとき $x \neq 2$ としてよいから、分母・分子を $x-2$ で約分する。

$$L = \lim_{x \to 2} \frac{2(\sqrt{(1+x)(3-x)} + \sqrt{(1-x)(1-2x)})}{-(3x+1)(\sqrt{3+x} + \sqrt{7-x})}$$

この式は $x \to 2$ で不定形にならないため、そのまま極限を計算できる。

$$\begin{aligned} L &= \frac{2(\sqrt{(1+2)(3-2)} + \sqrt{(1-2)(1-4)})}{-(3 \cdot 2 + 1)(\sqrt{3+2} + \sqrt{7-2})} \\ &= \frac{2(\sqrt{3} + \sqrt{3})}{-7(\sqrt{5} + \sqrt{5})} \\ &= \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{-7 \cdot 2\sqrt{5}} \\ &= -\frac{2\sqrt{3}}{7\sqrt{5}} \\ &= -\frac{2\sqrt{15}}{35} \end{aligned}$$

解説

無理式を含む関数の極限計算における典型問題である。そのまま極限をとると $\frac{0}{0}$ の不定形となるため、分母・分子ともに有理化を行い、極限を $0$ にしている原因である因数 $x-2$ を取り出して約分することがポイントである。分母の展開部分で符号のミスが起きやすいため、丁寧に計算を進めたい。