数学3 極限 問題 32 解説

方針・初手

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ となる。 そこで、$t = \frac{1}{x}$ とおき、$t \to 0$ の極限に帰着させる。 三角関数の極限の基本公式である $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を利用できる形へと式を変形していく。

解法1

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to +0$ となる。 与式を $t$ を用いて表すと、以下のようになる。

$$ \lim_{x \to \infty} x^2 \left( 1 - \cos \frac{1}{x} \right) = \lim_{t \to +0} \frac{1}{t^2} (1 - \cos t) = \lim_{t \to +0} \frac{1 - \cos t}{t^2} $$

ここで、分母と分子に $1 + \cos t$ を掛けて変形する。

$$ \lim_{t \to +0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \lim_{t \to +0} \frac{(1 - \cos t)(1 + \cos t)}{t^2(1 + \cos t)} $$

$$ = \lim_{t \to +0} \frac{1 - \cos^2 t}{t^2(1 + \cos t)} $$

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ より $1 - \cos^2 t = \sin^2 t$ であるから、次のように整理できる。

$$ = \lim_{t \to +0} \frac{\sin^2 t}{t^2(1 + \cos t)} $$

$$ = \lim_{t \to +0} \left( \frac{\sin t}{t} \right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos t} $$

$\lim_{t \to +0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であり、また $\lim_{t \to +0} \cos t = \cos 0 = 1$ であるから、極限値は次のように求まる。

$$ \lim_{t \to +0} \left( \frac{\sin t}{t} \right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos t} = 1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$

解法2

半角の公式 $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ を用いて式を変形する方法である。

$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to +0$ となる。

$$ \lim_{x \to \infty} x^2 \left( 1 - \cos \frac{1}{x} \right) = \lim_{t \to +0} \frac{1 - \cos t}{t^2} $$

分子に半角の公式を適用する。

$$ = \lim_{t \to +0} \frac{2 \sin^2 \frac{t}{2}}{t^2} $$

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ を利用するために、分母を $\left( \frac{t}{2} \right)^2$ の形になるように調整する。

$$ = \lim_{t \to +0} 2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{t}{2}}{4 \cdot \left(\frac{t}{2}\right)^2} $$

$$ = \lim_{t \to +0} \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \frac{t}{2}}{\frac{t}{2}} \right)^2 $$

$t \to +0$ のとき $\frac{t}{2} \to +0$ であり、$\lim_{\frac{t}{2} \to +0} \frac{\sin \frac{t}{2}}{\frac{t}{2}} = 1$ であるから、極限値は次のように求まる。

$$ = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} $$

解説

• $\frac{1}{x}$ のような扱いを難しくする塊が含まれる場合、それを別の変数（今回は $t$）で置換し、見通しを良くするのが極限計算における定石である。
• $\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t^2} = \frac{1}{2}$ は、入試数学において非常に頻出の極限である。結果を暗記するだけでなく、解法1の「分母分子に $1+\cos t$ を掛ける」手法、および解法2の「半角の公式を利用する」手法のどちらもスムーズに実行できるようにしておくべきである。
• 微分積分学を学習し、関数のマクローリン展開（テイラー展開）を知っていれば、$\cos t \approx 1 - \frac{t^2}{2}$ と近似できることから、この極限値が $\frac{1}{2}$ になることは直感的に予測できる。検算技術として有用である。

答え

$\frac{1}{2}$