数学3 極限 問題 33 解説

方針・初手

対数関数の極限に関する基本問題である。ネイピア数 $e$ の定義 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ を利用できるように対数の性質を用いて式変形を行うか、あるいは微係数の定義式を利用して極限を求める。

解法1

ネイピア数 $e$ の定義式を利用する。 与えられた極限の式を、対数の性質 $k \log_a M = \log_a M^k$ を用いて変形する。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log_2(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \log_2(1+x) = \lim_{x \to 0} \log_2(1+x)^{\frac{1}{x}}$$

ここで、底の変換公式を用いて、対数の底をネイピア数 $e$ に変換する。

$$\lim_{x \to 0} \log_2(1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1+x)^{\frac{1}{x}}}{\log_e 2}$$

ネイピア数 $e$ の定義 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ と対数関数の連続性より、$\lim_{x \to 0} \log_e (1+x)^{\frac{1}{x}} = \log_e e = 1$ となる。 したがって、求める極限値は以下のようになる。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log_e (1+x)^{\frac{1}{x}}}{\log_e 2} = \frac{1}{\log_e 2}$$

解法2

微係数の定義を利用する。 $f(x) = \log_2(1+x)$ とおくと、$f(0) = \log_2 1 = 0$ である。 求める極限は、次のように $x=0$ における微係数 $f'(0)$ の定義式として表すことができる。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log_2(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(0)$$

関数 $f(x)$ は、底の変換公式より $f(x) = \frac{\log_e(1+x)}{\log_e 2}$ と表せる。これを $x$ について微分すると、合成関数の微分法より以下のようになる。

$$f'(x) = \frac{1}{\log_e 2} \cdot \frac{1}{1+x} = \frac{1}{(1+x)\log_e 2}$$

したがって、求める極限値は $f'(0)$ であるから、次のように計算できる。

$$f'(0) = \frac{1}{(1+0)\log_e 2} = \frac{1}{\log_e 2}$$

解説

対数関数を含む極限の典型問題である。解法1のように、ネイピア数 $e$ の定義式 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ の形を無理やり作り出すのが定石の変形である。対数の底が $e$ 以外の場合は、底の変換公式を用いて自然対数に直すことで計算ミスを防ぎやすくなる。

また、解法2のように、微係数の定義 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ を見抜くことができれば、極限の計算を微分の計算に帰着させることができ、記述量を減らして簡潔に解答することができる。極限の式が $\frac{0}{0}$ の不定形となる場合、微係数の定義が利用できないか検討することは、入試において非常に有効な手段である。

答え

$$\frac{1}{\log_e 2}$$