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数学3 極限問題 34 解説

方針・初手

与えられた式は $n \to \infty$ のとき $\infty - \infty$ の不定形となる。根号を含む式の差であるから、まずは分子の有理化を行い、$\frac{\infty}{\infty}$ の形に変形する。その後、分母の最高次で分母・分子を割る。

解法1

求める極限は、分子の有理化を行うと次のように変形できる。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 2n + 2} - \sqrt{n^2 - n} \right) &= \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 2n + 2} - \sqrt{n^2 - n})(\sqrt{n^2 + 2n + 2} + \sqrt{n^2 - n})}{\sqrt{n^2 + 2n + 2} + \sqrt{n^2 - n}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + 2n + 2) - (n^2 - n)}{\sqrt{n^2 + 2n + 2} + \sqrt{n^2 - n}} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 2}{\sqrt{n^2 + 2n + 2} + \sqrt{n^2 - n}} \end{aligned}$$

ここで、分母・分子を $n$ で割る。$n \to \infty$ を考えるため $n > 0$ としてよく、分母の根号の中は $n = \sqrt{n^2}$ より $n^2$ で割ればよい。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n}}{\sqrt{1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}}} &= \frac{3 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + \sqrt{1 - 0}} \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned}$$

解説

$\infty - \infty$ 型の不定形となる無理式の極限の典型問題である。そのままでは極限が分からないため、「分子の有理化」と呼ばれる変形（$\sqrt{A} - \sqrt{B} = \frac{A - B}{\sqrt{A} + \sqrt{B}}$）を行い、$\frac{\infty}{\infty}$ 型の不定形に帰着させる手法が定石である。変形後は、分母の最高次の項である $n$ で分母と分子を割ることで収束する形を作り出すことができる。