数学3 極限 問題 35 解説

方針・初手

分母と分子に指数関数が含まれており、$x \to \infty$ とすると $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形となる。このような場合は、分母に含まれる項のうち、底の絶対値が最大のもの（今回は $4^x$）で分母・分子を割ることで、$0$ に収束する項を作り出すのが定石である。

解法1

与えられた式について、分母と分子を $4^x$ で割ると、次のように変形できる。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2^x + 4^x}{3^x + 4^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\left(\frac{2}{4}\right)^x + 1}{\left(\frac{3}{4}\right)^x + 1}$$

括弧内を約分して整理すると、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^x + 1}{\left(\frac{3}{4}\right)^x + 1}$$

となる。

ここで、$x \to \infty$ のとき、底の絶対値が $1$ より小さいため、$\left(\frac{1}{2}\right)^x \to 0$ および $\left(\frac{3}{4}\right)^x \to 0$ となる。

したがって、極限値は次のように求まる。

$$\frac{0 + 1}{0 + 1} = 1$$

解説

指数関数の極限における典型的な基本問題である。 分母と分子がともに発散する $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形において、極限 $x \to \infty$ の場合は、$|r| < 1$ ならば $r^x \to 0$ となる性質を利用して極限を求める。 分母の項の中で最も発散のスピードが速い、すなわち底の絶対値が最大の項（本問では $4^x$）に注目し、それで分母と分子を割ることがポイントである。これにより、定数項と $0$ に収束する項のみで構成される式へと変形でき、不定形を解消できる。

答え

$1$