トップ› 基礎問題› 数学3› 極限› 極限› 問題 37

数学3 極限問題 37 解説

方針・初手

自然対数の底 $e$ の定義式である $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$ および $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$ を利用できる形に式を変形する。括弧の中の分数の形に合わせて、指数部分を調整することが最初の目標である。

解法1

まず、前半の極限について考える。与えられた式を $e$ の定義式に近づけるため、指数部分を無理やり $2n$ の形にする。

$$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left\{ \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^{2n} \right\}^{\frac{1}{2}}$$

$n \to \infty$ のとき、$2n \to \infty$ となるので、$e$ の定義より $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2n}\right)^{2n} = e$ である。したがって、求める極限値は次のようになる。

$$e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$$

これが⑤に入る値である。

次に、後半の極限について考える。対数の性質 $k \log M = \log M^k$ を用いて、係数を真数の指数に移動させる。

$$\lim_{n \to \infty} (2n-1)^2 \log \left\{ 1 + \frac{3}{4n(n-1)} \right\} = \lim_{n \to \infty} \log \left\{ 1 + \frac{3}{4n(n-1)} \right\}^{(2n-1)^2}$$

真数部分について、$e$ の定義を利用できるように指数部分を次のように変形する。

$$\left\{ 1 + \frac{3}{4n(n-1)} \right\}^{(2n-1)^2} = \left[ \left\{ 1 + \frac{3}{4n(n-1)} \right\}^{\frac{4n(n-1)}{3}} \right]^{\frac{3(2n-1)^2}{4n(n-1)}}$$

ここで、$n \to \infty$ のとき $\frac{3}{4n(n-1)} \to 0$ であるから、中括弧の中身は $e$ に収束する。

$$\lim_{n \to \infty} \left\{ 1 + \frac{3}{4n(n-1)} \right\}^{\frac{4n(n-1)}{3}} = e$$

また、指数部分の極限は次のように計算できる。

$$\lim_{n \to \infty} \frac{3(2n-1)^2}{4n(n-1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{3(4n^2 - 4n + 1)}{4n^2 - 4n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 \left(4 - \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{4 - \frac{4}{n}} = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3$$

したがって、真数は $e^3$ に収束する。対数関数は連続であるから、極限を対数の中に入れることができ、求める値は次のようになる。

$$\log e^3 = 3$$

これが⑥に入る値である。

解説

自然対数の底 $e$ の定義を用いて極限を計算する典型的な問題である。$\lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^t = e$ や $\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$ の形を作り出すために、括弧の中の第2項の逆数を指数部分に無理やり作り出し、つじつまを合わせるように全体の指数を調整するのが定石である。後半の極限は、微分の定義を利用して導かれる公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$ を用いて計算することもできるが、本質的な計算の手順は変わらない。