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数学3 極限問題 38 解説

方針・初手

与えられた定義式に沿って、関数 $g(x)$ と $h(x)$ を具体的に $x$ の多項式として表す。その後は数学IIの微分の定石に従い、$h(x)$ の導関数から極値を求め、最後に数学IIIの極限の知識を用いて自然対数の底 $e$ の定義に帰着させる。

解法1

(1)

与えられた $f(t) = t^2 + t$ を積分して $g(x)$ を求める。

$$\begin{aligned} g(x) &= 6 \int_0^x (t^2 + t) dt \\ &= 6 \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 \right]_0^x \\ &= 2x^3 + 3x^2 \end{aligned}$$

したがって、(あ) は $2$、(い) は $3$ である。

次に、$h(x) = g(nx) - n g(x)$ を計算する。

$$\begin{aligned} h(x) &= \{ 2(nx)^3 + 3(nx)^2 \} - n(2x^3 + 3x^2) \\ &= 2n^3x^3 + 3n^2x^2 - 2nx^3 - 3nx^2 \\ &= 2(n^3 - n)x^3 + 3(n^2 - n)x^2 \end{aligned}$$

したがって、(う) は $2(n^3 - n)$、(え) は $3(n^2 - n)$ である。

(2)

$h(x)$ を $x$ で微分する。

$$\begin{aligned} h'(x) &= 6(n^3 - n)x^2 + 6(n^2 - n)x \\ &= 6n(n^2 - 1)x^2 + 6n(n - 1)x \\ &= 6n(n - 1)x \{ (n + 1)x + 1 \} \end{aligned}$$

$h'(x) = 0$ となる $x$ は、$x = 0, -\frac{1}{n+1}$ である。 $n$ は $2$ 以上の整数であるから、$n(n - 1) > 0$ かつ $n + 1 > 0$ が成り立つ。したがって、$x^3$ の係数は正であり、関数 $h(x)$ の増減は以下のようになる。

$x < -\frac{1}{n+1}$ のとき、$h'(x) > 0$。 $-\frac{1}{n+1} < x < 0$ のとき、$h'(x) < 0$。 $x > 0$ のとき、$h'(x) > 0$。

よって、$h(x)$ は $x = -\frac{1}{n+1}$ で極大値をとり、(お) は $-\frac{1}{n+1}$ である。

そのときの極大値 $g_n$ を求めるために、$h(x)$ を因数分解しておく。

$$\begin{aligned} h(x) &= x^2 \{ 2(n^3 - n)x + 3(n^2 - n) \} \\ &= n(n - 1)x^2 \{ 2(n + 1)x + 3 \} \end{aligned}$$

ここに $x = -\frac{1}{n+1}$ を代入する。

$$\begin{aligned} g_n &= h \left( -\frac{1}{n+1} \right) \\ &= n(n - 1) \left( -\frac{1}{n+1} \right)^2 \left\{ 2(n + 1) \left( -\frac{1}{n+1} \right) + 3 \right\} \\ &= \frac{n(n - 1)}{(n + 1)^2} (-2 + 3) \\ &= \frac{n(n - 1)}{(n + 1)^2} \end{aligned}$$

したがって、(か) は $\frac{n(n - 1)}{(n + 1)^2}$ である。

また、$h(x) = 0$ を解くと、$n(n - 1)x^2 \{ 2(n + 1)x + 3 \} = 0$ となり、$x = 0, -\frac{3}{2(n+1)}$ を得る。したがって、$x = 0$ 以外の解である (き) は $-\frac{3}{2(n+1)}$ である。

(3)

$(g_n)^n$ の極限を求める。自然対数の底 $e$ の定義 $\lim_{t \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t = e$ を利用できるように式を変形する。

$$\begin{aligned} (g_n)^n &= \left\{ \frac{n(n - 1)}{(n + 1)^2} \right\}^n \\ &= \left( \frac{n}{n + 1} \right)^n \left( \frac{n - 1}{n + 1} \right)^n \\ &= \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^n \left( 1 - \frac{2}{n + 1} \right)^n \end{aligned}$$

ここで、それぞれの因数について極限を考える。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n + 1} \right)^n &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( 1 + \frac{-1}{n + 1} \right)^{n + 1} \right\}^{\frac{n}{n + 1}} \\ &= (e^{-1})^1 \\ &= e^{-1} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{n + 1} \right)^n &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( 1 + \frac{-2}{n + 1} \right)^{n + 1} \right\}^{\frac{n}{n + 1}} \\ &= (e^{-2})^1 \\ &= e^{-2} \end{aligned}$$

これらより、求める極限は以下のようになる。

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} (g_n)^n &= e^{-1} \cdot e^{-2} \\ &= e^{-3} \end{aligned}$$

したがって、(く) は $e^{-3}$ である。

解説

(1)と(2)は数学IIの定積分と微分の基本的な計算問題であり、文字 $n$ が含まれているものの、落ち着いて計算すれば問題なく解ける。因数分解をうまく利用することで、計算ミスを減らし、式の見通しを良くすることが重要である。 (3)は数学IIIの極限であり、$1^{\infty}$ の不定形となるため、自然対数の底 $e$ の定義に帰着させる。分子と分母の形から $\left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n \to e^a$ の形をどのように作り出すかがポイントとなる。