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数学3 極限問題 41 解説

方針・初手

与えられた関数の極限が有限の値となるための必要条件から、定数 $a, b$ を順に絞り込む。$x \to 0$ のとき分母が $0$ に収束するため、極限値が存在するなら分子も $0$ に収束しなければならない。これで $a$ が決定する。さらに、無理式を有理化して変形し、再び分子の極限について考えることで $b$ を決定する。最後に、求めた $a, b$ の値で実際に極限値を計算し、十分性を確認する。

解法1

$x \to 0$ のとき、分母 $x^2 \to 0$ である。与えられた極限が有限の値をもつためには、分子の極限も $0$ になることが必要である。よって、

$$\lim_{x \to 0} \left\{ \sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} - (a+bx) \right\} = 0$$

が成り立つ。$x \to 0$ のとき $\sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} \to \sqrt{9 - 0 + 7 \cdot 1} = \sqrt{16} = 4$ であるから、

$$4 - a = 0$$

すなわち、$a = 4$ が必要である。

このとき、与えられた極限の式は

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} - (4+bx)}{x^2}$$

となる。分子を有理化するため、分母と分子に $\sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} + (4+bx)$ を掛ける。

$$\begin{aligned} & \frac{\sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} - (4+bx)}{x^2} \\ &= \frac{(9 - 8x + 7\cos 2x) - (4+bx)^2}{x^2 \left\{ \sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} + (4+bx) \right\}} \end{aligned}$$

ここで、分子の計算を進める。$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ を用いると、

$$\begin{aligned} (\text{分子}) &= 9 - 8x + 7(1 - 2\sin^2 x) - (16 + 8bx + b^2 x^2) \\ &= 16 - 8x - 14\sin^2 x - 16 - 8bx - b^2 x^2 \\ &= -8(1+b)x - 14\sin^2 x - b^2 x^2 \end{aligned}$$

となる。したがって、極限の式は次のように変形できる。

$$\lim_{x \to 0} \frac{-8(1+b)x - 14\sin^2 x - b^2 x^2}{x^2 \left\{ \sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} + (4+bx) \right\}}$$

$$= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} + 4+bx} \left\{ -\frac{8(1+b)}{x} - 14\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 - b^2 \right\}$$

$x \to 0$ のとき、

$$\frac{1}{\sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} + 4+bx} \to \frac{1}{\sqrt{16} + 4} = \frac{1}{8}$$

であり、また $\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 1^2 = 1$ である。したがって、この極限が有限確定値をもつためには、括弧内の $-\frac{8(1+b)}{x}$ の部分が発散しないこと、すなわち分子の $x$ の係数からなる部分が $0$ になることが必要である。

$$-8(1+b) = 0$$

よって、$b = -1$ である。

逆に、$a = 4, b = -1$ のとき、極限値は次のように計算できる。

$$\begin{aligned} (\text{与式}) &= \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{9 - 8x + 7\cos 2x} + 4-x} \left\{ - 14\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 - (-1)^2 \right\} \\ &= \frac{1}{8} \cdot (-14 \cdot 1^2 - 1) \\ &= -\frac{15}{8} \end{aligned}$$

となり、確かに有限の値をもち、適する。

解説

「分母が $0$ に近づくなら、極限が有限値を持つために分子も $0$ に近づく必要がある」という極限の基本性質を2回繰り返す典型問題である。

1回目の条件処理で $a$ を定めた後、そのままでは不定形が解消されないため、無理式の有理化を行う。有理化後の分子には $\cos 2x$ が含まれるが、分母が $x^2$ であることを見越して、$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ が使えるように $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ の半角の公式（倍角の公式の変形）を用いて $\sin$ の式に直すことが重要である。これにより、分母の $x^2$ と約分できる項と、新たに必要条件を生む $x$ の1次項がきれいに分離できる。